以前关于晚清学校数学课程的设置的研究，大多将它作为一个整体，注重论述它从无到有的过程和历史意义。但是具体到学习数学中哪些内容，则有很大不同，有一个变化过程。考察数学课程设置的科目，可以看出晚清国人数学知识体系的变化或“重构”的渐进过程。我们长时段考察壬寅学制颁布前一些学校（洋务学堂、书院、新式学堂、教会学校）的数学课程就可以发现这一点。

京师同文馆于同治元年（1862年）设立，六年（1867年）增设天文算学馆，翌年数学家李善兰应召就任算学教习。根据历史资料，现查到三个数学课程表。《清会典》卷一百记录同文馆数学课程内容如下^[96]：

凡算学，以加减乘除为入门。（有笔算，有筹算，皆以定位为准。加减乘除，均有带分，故须用通分法。）次九章。（方田，粟米，衰分，商功，均输，盈朒，方程，少广，勾股为九章。内唯少广，勾股义最深，用亦最繁。堆垛为少广之一支，自一乘垛以至诸乘垛。）次八线。（正弦，余弦，正切，余切，正矢，余矢，正割，余割谓之八线。）次则测量。（度之可以取直角者，曰勾股测量。其不能取直角者，曰三角测量。三角有边角比例，两边夹一角，三边求角诸法。）次则中法之四元术，西法之代数术。（四元术，上下左右，别以位次，代数乘方正负，分以记号，其相消开方法则同。二者皆以已知数求未知数，是谓造法之法。四元、代数既明，使以御九章及九章以外各题，因题立法，无不如志。）又有正弧三角。（用边角比例及次形。）次斜弧三角。（其有相对边角者，用边角比例。其无相对边角者，用垂弧，或用次形。三角求边用次形，或用求半边正弦自乘之法。三边求角，用总较法，或用开平方得半角正弦法。两弧夹一角，用矢较法，或用半外角正切法。）至求南北直线，北极高度……皆有专法。然后讲求重学，以明演放炮位、驾驶舟车、一切营建、制造之法，以及《代微积拾级》诸算之精密焉。

另据《同文馆题名录》（1879年）所记光绪二年（1876年）公布的两个课程表：八年课程表和五年课程表。肄业诸生若“由洋文而及诸学共须八年”^[97]，所学课程，按年次第开设，详列于后：

首年：认字写字，浅解辞句，讲解浅书。二年：讲解浅书，练习句法，翻译条子。三年：讲各国地图，读各国史略，翻译选编。四年：数理启蒙，代数学，翻译公文。五年：讲求格物，几何原本，平三角，弧三角，练习译书。六年：讲求机器，微积分，航海测算，练习译书。七年：讲求化学，天文测算，万国公法，练习译书。八年：天文测算，地理金石，富国策，练习译书。

对于“其年齿稍长，无暇肄及洋文，仅籍译本而求诸学者，共须五年”。各门功课分年安排如下：

首年：数理启蒙，九章算法，代数学。二年：学四元解，几何原本，平三角，弧三角。三年：格物入门，兼讲化学、重学、测算。四年：微分积分，航海测算，天文测算，讲求机器。五年：万国公法，富国策，天文测算，地理金石。

第一个课程表的数学包括：入门的算术（笔算、筹算）、九章（包括垛积）、八线、勾股测量、三角测量、四元术（代数术）、弧三角、重学、微积分等。后两个课程表中数学要笼统得多，有些其实是书名，如《数理启蒙》、《代数学》、《几何原本》。这三个课表涉及的数学知识系统是中西混杂的，从学习者的角度来看，逻辑性和系统性不强。

1874年，徐寿与傅兰雅在上海创办格致书院，以“讲习格致各科学”为宗旨。傅兰雅在《格致书院西学课程序》中说：“诸学以算学为起首功夫，违此则不能前进。盖算学为各学之根本，算学不明，则诸理难解，故不可不先习也。算学又以数学为首，明乎数算，始可进习代数、几何、三角、八线诸算学。是学算宜以数学为先也。”^[98]强调了数学的基础作用，同时也给出了数学的各分支。

1880年，直隶总督李鸿章奏设水师学堂于天津机器局中，1881年学堂落成。开始时招学生60 名，最多时达到120 名。学制5年：在堂肄业4年，在船练习1年。在堂4年的功课有：英国语言文字、地舆图说、算学（至开平方诸方）、几何原本（前六卷）、代数（至造对数表法）、平弧三角法、驾驶诸法、测量天象推算经纬度诸法、重学、化学格致。每年春秋两季各考试一次，考试的内容包括代数、几何、三角、力学、格物学、机器学、英国语言文字、气候学、驾驶学、天文学、测量学、仪器用法和测天等13 项，满分1500 分。其中“代数应考通分、方程、积方、开方、指数、二次无根式、二次方程式、三率、三种级数、对数理并用法，225 分”；“几何至欧几里得第六卷，125 分”；“三角法界说各种公式、平弧三角、边角相求法，125 分”^[99]，算学共475 分，占总分差不多三分之一，这还不包括天文学200 分、测量学100 分和测天60 分中算学所占的分数。从考试内容可以看出，天津水师学堂的数学或数学应用教学占总教学很大的比重。学生毕业后任水师官职。严复（1853—1921年）任学堂总教习20 余年。这里的数学课程中包括算术、几何、代数、平面三角、球面三角。

1881年，美国监理会传教士林乐知在上海创办中西书院，其学制为八年。数学课程为：第三年，数学启蒙；第四年，代数学；第五年，考究天文、勾股法则、平三角、弧三角；第六年，重学、微分、积分；第七、八年学生相当于大学一、二年级程度，则授以航海测量、天文测量等专门学问。^[100]这个课程中数学体系包含算术、代数、勾股、平面三角、球面三角、微分、积分。

1896年1月，湖南湘乡士绅拟开办东山精舍，“仿湖北自强学堂成法，分科造士，为算学、格致、方言、商务四斋，教之以实事，程之以实功”，并制定《湘乡东山精舍章程》二十四条。第四条规定：“入舍肄业生，算学为先。”第五条称：“河图寓加减之源，洛书肇乘除之祖，《周髀》九数，畴人命官唐制六科，明算取士，所从来久矣。”第六条称：“算学当循序精进，初学一年习几何、代数、平三角、少广；第二年则习曲线、微分、积分；第三年则习弧三角、微积分之深义、立体之几何。”^[101]这个章程给出数学的知识内容包含了几何、代数、平面三角、少广、曲线、微分、积分，并且显示出相应的梯次，但要在三年之内就掌握微积分，显然是没有经过教学实践。

这些章程都表明数学的重要性，给出了各自对数学知识系统的大致理解，从数学教学的角度而言还很不成熟。

1897年，绍兴徐树兰捐资创办绍兴中西学堂，当年3月开学。学堂学生须学习国学、外国文（英、法文任选一种）、算学三科，相应地开设中学课程、英文馆课程、法文馆课程和算学馆课程。算学馆课程有10 条规定。这个课程对数学内容以及学习次序规定甚详，反映当时对数学知识体系的认识。该课程总要求是^[102]：

凡入算学馆，先习数学^[103]，已通数学者习几何，已通几何者习代数，然后讨论三角、八线、对数、诸曲线之理，以进于微分、积分。(www.daowen.com)

一、数学。本自然之理，故中西立法虽异，其志则同。惟学者既习算学，必求通代微积而后已，否则亦必通代数而可。中法如程氏《算法统宗》、朱氏《算法启蒙》等书，皆与代数式迥异。学者至习代数，必将其变加减乘除开方之法以就之，则何如径习西法之为代数。顾西法数学，亦无训蒙一定善本，近来刻本如华若汀先生之《算法须知》，最为提纲挈领。他如西士伟烈亚力所辑之《数学启蒙》，与美士狄考文之《笔算数学》二书，于比例开方两门，皆极简明，专为授蒙之用。狄书稍嫌繁琐，今先授以《算法须知》，而以二书推广之，于寻常算法已几赅备（二书于中法九章之理大概以备，再进而习几何、代数，则其视九章为深，其用较九章益广。学者既明代数，未有不能通九章者也。）。

一、《几何原本》。言理而不言数，最耐玩味。点线面体，为算学之根本，有如加减乘除开方为作用也，极深之算学，不能舍加减乘除开方而用他法，亦不能外点线面体而有他名。学者不明几何，不能沏立法之原，习一法不过得一法之用，且久而易忘，虽习遍诸法无裨也。顾此书第十卷之理甚深，非初学者所能骤明。今先取前六卷逐题讲授，学者熟复胸中，迨既习代数以后，再取后十卷观之，自能渐次明晰。

一、代数。先授狄考文之所辑之《代数备旨》，是书至二次方程，为代数之最浅近者，习问甚多，与《笔算数学》同，亦颇嫌繁琐。其中论劈生数，视《代数术》为详编，程式更为《代数术》所无。学者既通此书，再授以西士傅兰雅所译之《代数术》，并讨论各程量法。

一、算学至代数，已别具境界，能将其中各术一一体会，雪亮胸中，则微分积分之术，即能寻绎自得。盖微积术实本代数式而生，能通泛倍数助变数之理，于微积已得门径，至此可不待讲授，即遇有疑难之处，亦必待学者苦思，不得再经讲授，尤易为功。

一、代数四次以上，无论功法，大抵须借径与八线表，即等职各次式以下三法，亦枝枝节节而为之，转不如天元开方之通为一法也，故学者既明代数以后，亦不可不习天元。

一、习微积，宜先习西士伟烈亚力所译之《代微积拾级》，再习傅兰雅所译之“微积术”^[104]。

这个课程规定较为详细，在很大程度上没有考虑学生的认知程度，缺乏实践论证，但是它反映出当时人们对数学知识体系的认识，以及这个知识体系中各分支间递进的层次关系。这里的算学知识体系包含了算术、几何、代数、三角、对数、曲线、微分、积分等近代西方数学知识，基本上相当于现在工科大学低年级应具备的数学知识基础，微积分也是被当成最高层次的知识放在最后。

1890年，曾国荃拟定《江南水师学堂简明章程》，对学堂课程作了规定：除英国文法外，还有几何、代数、平三角、弧三角、中西海道、星辰部位、升桅帆缆、划船泅水、枪炮步伐、水电鱼雷、重学、微积、驾驶、御风测量、躔晷、绘图诸法、轮机理要、格致、化学等，“凡为兵船将领应知应能之事，均应学习”^[105]。学堂请傅兰雅主考，按门考试，考试科目为：“各门学内有行船法、天文学、汽机学、画图学、数学、代数学、几何学、平弧三角法、地志学、英国文法与翻译与诵读与默书与解字，并写英字作英文。”^[106]

1897年11月，湖南长沙时务学堂开学，梁启超为学堂制定《湖南时务学堂学约》，规定学堂所学为两种，一为“溥通学”（“溥”通“普”），一为“专门学”。溥通学包含经学、诸子学、公理学、中外史志及格算诸学之粗浅者。专门学包含公法学、掌故学、格算学。入堂学生前六个月习溥通学，六个月之后“各认专门”，与溥通学一律并习。学生所读之书分为“专精之书”和“涉猎之书”，并章程之后附有“读书分月课程表”，以一年为学习周期。其中格算门从七月开始所读之数学书依次为：第7月，《学算笔谈》《笔算数学》；第8—10月，均为《几何原本》《形学备旨》《代数术》《代数备旨》；第11月，《几何原本》《形学备旨》《代数术》《代数难题解法》；第12月，《几何原本》《代数难题解法》《代微积拾级》《微积溯源》。^[107]

1901年10月，蔡元培在《学堂教科论》中对中西学术及知识系统做了研究。他接受日本学者井上甫水的分类法，将学术分为三大系统，即有形理学、无形理学（亦即有象哲学）、哲学（亦称无象哲学、实体哲学）。有形理学分为算学、博物学、物理学、化学。其中算学又分为数学及代数学、形学及代形学、三角测量学、微分积分学。

1903年8月，严复拟定《京师大学堂译书局章程》，其中“章程条说”中讲道：“数学有空间时间两门，空间如几何、平弧三角、八线、割锥，时间如代数、微积之类。世谓数学为西学极舆，诚非妄说，但今所取译，务择显要，用以模范学者之心思，用以得诸学之镇钥。至于探颐索隐，则以俟专门之家，非普通学之所急也”^[108]。其中“割锥”指的是“圆锥曲线”。

以上摘录自一些书院、学堂、学校数学课程设置以及译书机构书籍分类，课程虽设置，教学实践未必能落实，但这些能大体反映出当时国人数学知识分类、结构的变化过程。知识分类是根据某种知识组织的原则对知识所作的分类、归纳和整理，使之纳入一个完整的系统中，学校教学课程中各科内容、分支的设置就是其表征。大体可以以1890年为界，之前的数学知识体系中包含了传统数学内容，进入19世纪90年代后，传统数学的比例逐渐减低，有些课程设置里甚至都不见其踪影。

这时国人已经认识到“一切西学皆从算学出”中的“算学”存在着“此”与“彼”的区别，“出西学”的“算学”实为“彼算”——西方近代数学，它有着它自己的知识基础和逻辑，与中国传统算学的“此算”有相同、相似、相近的内容，但有很大的差别。要学习、理解传入的西方科学，应该从“西算”入手而不是从“中算”中去寻找。随着西方近代数学逐步输入和传播以及晚清数学教育近代化过程逐渐深入，国人在实践中慢慢认识到这一点。至19世纪90年代，晚清数学知识体系基本上包含：算术、代数（包括几种初等函数）、平面几何、平面三角、球面三角、圆锥曲线、解析几何、微分、积分等内容，这个知识体系与清代中期及以前的数学知识体系几乎完全不一样，传统数学只有一些具体的算法因为其快捷性、程序性可能还保留着，比如传统数学中的开方术在解高次数值方程时比用求根公式求根要简捷，因而在一些数学著作中被保留。^[109]这个体系的“建构”与晚清西方近代数学的传播和数学教育的近代化有着直接的联系，最直接的体现就是教科书委员会编译的数学教科书系列。

这个知识体系可以分为三个层次，算术、代数、平面几何、平面三角、球面三角属于基础层次，圆锥曲线和解析几何属于高级层次，微分、积分属于最高层次。从数学教育角度而言，微积分的教学在晚清发展式微，明确规定开设微积分课程的学校案例并不多，即使有规定，未必有教学实践；即使有实践，微积分的教学内容大都集中在泰勒展式、求积问题、极值问题以及积分技巧等方面，将微积分当成算法，而不是一种普遍的方法。相应的师资也很缺乏。^[110]在这种情况下，圆锥曲线和解析几何在壬寅学制颁布之前实际上是当时学校数学课程中的最高层次了。