晚清一些算学课艺中也出现了运用圆锥曲线解容圆问题的几何求作题，虽然很零散，但不乏精妙的解答。

1896—1901年，华世芳主讲龙城书院（1896年改为致用精舍），教学期间他精选学生的算学课艺，按年编排，收入60 题86 草，结集为《龙城书院课艺（算学）》。华氏常“拈原理课程学子”，课艺中容圆问题共有10 题22草，其中有很多解答是利用圆锥曲线定位容圆圆心，以丁酉年（1897年）第9 题和第11 题为例说明如下。^[24]

第9 题题设为：“平圆（⊙O）内任作三半径（OP1，OP2，OP3），于此三半径上取三点（X，Y，Z）为心，作相切三圆亦切大圆周，其法若何”。该题选用杨焱课草，他共给出8 种解题方法，前五法用的是位似作图，后三法利用圆锥曲线作图。这三法具体如下。

法1：如图4-3-7，（1）过点P1，P2，P3 分别作⊙O 的切线，依次相交于点A，C，分别作⊙A（AP1），⊙C（CP2）；

（2）在OP3 延长线上取点G，使得GP3=AP1。过G 点作OG 的垂线LG，过点A 作AL∥OG 交LG 于点L；

（3）以LG 为准线，AL 为对称轴作抛物线交OG 于点Q，联结AQ 交⊙A（AP1）于点K；

（4）过点K 作⊙A（AP1）的切线分别交OP1，OP2 于点X，Y；

（5）过Y 作⊙C（CP2）的切线交OP3 于点Z。则点X，Y，Z 即为所求。

图4-3-7

法2：如图4-3-8，（1）同法1 的（1）；

图4-3-8

（2）直线OA 依次交⊙A（AP1）和⊙O于点M，E，D，N。取ME 中点H，取NE 中点G，联结HG；

（3）以HG 为长轴，作过点P1 的椭圆交OP3 于点Q；(www.daowen.com)

（4）同法1 （4），（5）得到点X，Y，Z。

法3：如图4-3-9，（1）同法1 的（1）；

（2）以点A，P3 为焦点，AP1 为实轴，作双曲线交OP3 于点Q；

（3）同法1 （4），（5）得到点X，Y，Z。此题实为卢卡斯圆问题（Lucas Circles Problem）^[25]，较早见于《中西闻见录》第10 号（1873年5月）“天文馆难题”，第15 号（1973年10月）蔡锡勇、左秉隆、江槐廷三人各给一法。龙城书院毕业生沈保枢的《容圆通义》（1901年）收入该题并给出一法。他们均用尺规作图求解。此处三个解法运用圆锥曲线确定点Q，确有新意。教习华蘅芳的评语是：“理精法密，后三法尤为新得之理。”

图4-3-9

第11 题题设为：“三角形内容相切三不等圆，欲量取三圆之心，其法若何。”

此即马尔法蒂问题（Malfatti's Problem）^[26]，较早见于《中西闻见录》第5号（1872年1月）“天文馆难题”，第8 号（1873年3月）钱塘江槐庭给出解法并附图，第12 号（1873年7月）殷仲深指出江法有误，并给出新的作法。“天文馆批”指出江法误，殷法难，给出较为简单的方法。他们均用尺规作图法求解。大约1876年春，黄宗宪看到此题，并利用传统的勾股解法求解。《龙城书院课艺》选取学生孙祝耆和杨焱两种作图方法，后者利用了圆锥曲线作图定位圆心。限于篇幅，此处过程从略。值得注意的是，前面几处提到的“天文馆”，指的都是京师同文馆于1867年开办的天文算学馆。1868—1882年李善兰在此任算学总教习。

此外，上虞算学堂算学教习支宝枬主编的《上虞算学堂课艺》卷下第39 题：

三角形以三角各为心，三边较为度，作不等三圆。复作三圆之内切小圆及外切大圆。有三边，求内外二切圆。

此题为阿波罗尼问题（Apollonius’ Problem）的特例。阿波罗尼问题完整的中文表述最早见于《格致汇编》光绪二年十二月号（1877年1月）“算学奇题”的第36 题。此题晚清讨论甚多，有一定的影响。此处上虞算学堂学生的解法是，利用三角函数方法给出了切圆的半径公式，在解后附注称：

房图甲乙丙三圆心，俱在椭圆周，内外两圆心即椭圆之两心，内外两半径和即长径也。星图甲乙丙俱在抛物线上，内圆心即抛物线心。尾图甲乙丙俱在双曲线上，内外两圆心即双曲线之两心，内外两半径较即横径也。^[27]

此注虽未直接利用圆锥曲线作图，但也将圆锥曲线性质与容圆圆心联系起来。^[28]