黄宗宪，字玉屏，湖南新化人，同治十年 （1871年）拜长沙丁取忠（1810—1877年）为师，为《白芙堂算学丛书》的编辑出版做了大量的校订工作，是晚清以丁取忠为首的长沙数学研究团体中的重要成员之一。^[18]黄氏的数学著作收集在他的《古琴古砚斋算稿》中，有《容圆七术》《求一术通解》《曲面容方》《悯笑不计》等。其中《容圆七术》（上、中、下3 卷）是研究容圆问题方面的专著，有其独到之处。卷上（七术）对容圆问题的类型作了创造性的推广，主要是将三角形容圆推广到（圆）弧线三角形容圆，再推广到圆锥曲线弧三角形容圆。容圆个数有一圆、多圆甚至无穷。卷中讲解了9个弧线三角形容圆的例题，均为阿波罗尼问题的特殊情形或其退化情形。这两卷所用方法均是运用天元术设所求容圆半径为“天”，依据勾股定理列方程，最后用开方术求解出容圆半径。最具特色的是卷下。黄氏在此卷卷首称：

黄宗宪《容圆七术》“规线捷法”第十条（梅城知足堂本）

余所演容圆各题于算术已具厓略。兹又思得一法，取数亦不烦乘除，惟采用圆锥曲线之理，任何三角容圆均能驭以量法，得数不殊，亦鄙人一快意事也。谨分条列左，俾后之同好者，知曲面三角形容圆原有量法相辅，自然之妙也。^[19]

具体来说，黄氏认识到容圆问题的另一个关键——容圆的圆心。他看出与弧线三角形两边（或弧弧或弧线）同时相切的圆之圆心轨迹是圆锥曲线，因此可以利用轨迹相交法来确定圆心，“既得圆心所在，则圆半径可藉而知矣”，他称此法为“容圆用规绘捷法”。为了便于后文讨论，介绍如下。

黄氏首先交代了预备知识：圆锥三曲线的作图方法和三曲线的焦半径的几何性质。这部分知识来源于《代微积拾级》和《圆锥曲线说》。紧接着黄氏给出所创的“容圆用规绘捷法”，按已知弧线的位置关系可以分为相切和相离两类，讨论容圆圆心的轨迹，有6 个命题，前3 个论述相切情形，后3 个论述相交情形。具体如下（为节省篇幅，注释随文给出，与相应的图对应；“命题”字样为本书所加）：

命题1：凡甲圆[⊙A （a）] 与直线相切，其切点两旁成角必等角，内欲作天圆（⊙X）碰切（外切）甲圆亦切直线（l）。设令天圆自极小渐变大，则天圆之心必行成抛物线。其曲率以甲圆心（A）为抛物线心，甲圆半径（a）为心距顶点之线，倍甲圆半径为准线。

如图4-3-1，已知直线l 与⊙A （a）相切，与直线相切并与圆外切的圆的圆心X 的轨迹是一条抛物线，其顶点为直线与圆的切点，圆心A 为其焦点，焦点到准线的距离为圆直径2a。

命题2：凡甲乙两圆[⊙A （a）、⊙B （b）] 碰切（外切），其切点两旁成角必为等角，内欲作天圆（⊙X）亦与甲乙两圆碰切（外切）。设令天圆自极小渐变大，则天圆之心必行成双曲线。其曲率以甲乙两圆心为双曲线之二心，以甲乙两半径（设a＞b）和为倍心差（焦点距），以乙半径为心距顶点之线（实半轴）。

如图4-3-2，已知两不等圆⊙A、⊙B 外切，与两圆均外切的圆的圆心X 的轨迹是双曲线靠近小圆的一支，其焦点是A、B，焦点距为a+b，实半轴为小圆半径（b）。

图4-3-1

图4-3-2

(www.daowen.com)

图4-3-3

命题3：凡甲乙两圆[⊙A （a）、⊙B （b）] 叠切（内切），其切点两旁成角必为等角，内欲作天圆（⊙X）叠切甲圆碰切（外切）乙圆。设令天圆自极小渐变大，则天圆之心必行成椭圆。其曲率以甲乙两圆心为椭圆之二心，以甲乙两半径较为倍心差（焦点距），以甲乙半径和为椭圆之大径（长半轴）。

如图4-3-3，已知⊙A、⊙B 内切，与大圆⊙A 内切、与小圆⊙B 外切的圆的圆心轨迹是以A、B 为焦点，以a-b 为焦点距的椭圆。

命题4：两条相交直线之间容圆，其圆心轨迹为直线交角的平分线。命题5：凡直线（l）与弧线（⊙A）相交，其交点周围界成四不同形角，角内欲作天圆，圆心必行抛物线，相对两角同一曲率，即同一曲线。

如图4-3-4，直线l 与⊙A 相交，与直线和圆同时相切的圆的圆心轨迹是两条抛物线，已知圆的圆心是它们的公共焦点。黄氏还给出了其他参数。

命题6：凡弧线（⊙A）与弧线（⊙B）相交，其交点周围界成四不同形角，角内欲作天圆。其左右相对两角，天圆心必行椭圆；上下相对两角，天圆心必行双曲线。

如图4-3-5，⊙A 与⊙B 相交，与两个已知的相交圆同时相切的所有圆，其圆心轨迹是一个椭圆和一个双曲线的一支，两个已知圆的圆心是它们的公共焦点。黄氏还讨论曲线半径等其他参数。

图4-3-4

图4-3-5

这些命题直接给结论，没有证明，利用圆锥曲线的定义不难证明它们的正确性。它们可以看成是黄氏对容圆圆心轨迹的理论研究。卷下最后黄氏在“自记”（1890年）中总结称：

一有此术，则无论何样三角形（其边不论直线、弧线，其角不论切、交点），内欲容圆，任指其形之两角、一角作一曲线，自角点起引长之，两曲线相交之点，即所求容圆之心。既得圆心所在，则圆半径可藉而知矣。岂非天造地设不假推求之捷术哉。是容圆术中必不可少之法也。