既然正交双曲线与圆互为反式，那么由与圆有关的线段所定义的“八线”（三角函数）在正交（等轴）双曲线上也应有其对应形式，因此夏鸾翔比较顺利地得到了他的双曲八线即现代的双曲函数。他在第12 节“论八线”中论述说：

平圆与正交双线既为正负二式，则体例俱宜相同。故平圆有八线，正交双线亦有八线，更增正、余二法线。

如图4-1-4，P 为正交双曲线上一点，PT 为正弦，OT 为余弦，PR 为正法线，P′R′ 为余法线，AT 为正矢，BT 为大矢，A′T′ 为余矢，PQ 为正切，P′Q′为余切，QR 为正割，Q′R′为余割。

图4-1-4

它们之间的关系“凡乘除比例之法，俱与平圆同，惟平圆用加者，此用减，平圆用减，此用加。又平圆比例用半径者，此式皆用正、余二法线（因平圆之正法线、余法线皆为半径之故），两者为异耳”。具体各量之间的关系夏氏列出14 条，如下表：

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（续表）

夏氏将PQ 定义为正切，而现今定义是AK。

夏氏根据等轴双曲线与圆互为反式，得出双曲函数，是他的一创举。在他之后翻译进来的《圆锥曲线说》也仅仅是简单介绍，只涉及正弦、余弦与正矢三个函数。

在夏氏之前，中算家的几何观主要是“几何即勾股”论。^[4]夏氏的老师项名达于《勾股六术》中还对勾股术进行孜孜的探究。^[5]及至晚清，也就是夏鸾翔所处的时代，经过西方数学的第二次大规模的传入之后，圆锥曲线等曲线形进入中算家的几何研究领域，一些内容很难用传统的勾股术解释了^[6]。夏氏的成果显然已经突破“几何即勾股”论。他面对《代微积拾级》中“解析几何”对二次曲线性质的介绍，敏锐地看出四种曲线之间的联系，用统一的、辩证的、纯粹的几何方法对它们进行综合考察，得到一些接近近代综合几何的结论，其思想深刻可见一斑。