以上即为夏鸾翔对二次曲线求积问题研究的大体成果，其基本方法是“递加数”结合《代微积拾级》中的“积分术”。

《致曲术》《万象一原》中所有的展开式，夏鸾翔均是利用递加数来描述的。《万象一原》卷一（“用术”）末有一段识语说：

此卷共十题，每题二术，皆设一借数以求本数，理本同原，术皆一贯。有此十术而递加数之神明变化悉自此生，犹农夫之耒耜，渔人之网罟也。

如式（3.3.1）（“求几乘方根”）夏氏表述为：

取略大于积之数为借积，其根为借根，借积内减本积余为减积，借根为第一数正；本乘方乘数加一为廉率，次置第一数以减积乘之，借积除之，廉率除之为第二数负；次置第二数，以减积乘之，借积除之，廉率减一乘之，廉率除之，二除之为第三数负；次置第三数，以减积乘之，借积除之，二因廉率减一乘之，廉率除之，三除之为第四数负；次置第四数，以减积乘之，借积除之，三因廉率减一乘之，廉率除之，四除之为第五数负（以下皆负）。顺是以下皆如是，求至单位下止，乃正负并减为开得几乘方根。

由本章第一节所述，递加数是清代中期中算家们在寻求杜氏九术之原时逐渐发展起来的描述级数展开式的一种办法，是从董祐诚开始，经项名达的发展，将级数展开式与传统数学中的贾宪三角形（项氏称之为“递加图”，三位的递加图参看第一节）联系起来的一种方法。项名达认为“诸乘方之根积，连比例也。其廉率，递加数也。若以递乘递除开之，诸乘方可通为一例”。如同样是式（3.3.1），项氏的表述为：

以本乘方积检开方表，其积较本积稍大者用为借积，其根为借根，借积内减本积余为减积，以借积除减积得数为递次乘法。又以本乘方乘数加一为廉率，迺置借根为第一数；次置第一数乘法乘之，廉率除之为第二数；次置第二数乘法乘之，廉率减一乘之，二因廉率除之为第三数；次置第三数乘法乘之，二因廉率减一乘之，三因廉率除之为第四数；次置第四数乘法乘之，三因廉率减一乘之，四因廉率除之为第五数。如是挨次乘除得数渐降至单位下止。并第二数以下诸数与第一数相减得本乘方根。^[42]

比较项、夏二氏对式（3.3.1）的表述，可以看出夏氏对项氏的继承。从上文的论述可以看出，夏鸾翔对二次曲线求积问题的处理实际上是以递加数对被积函数为不同指数类型（或±型，或±型）的二项式函数进行展开^[43]，然后根据积分法行进积分运算，最终的结果还用递加数的形式表达。

夏鸾翔《万象一原》卷一首末页（振绮堂丛书本）

对于递加数，夏氏早在其《洞方术图解》（1857年自序）中就有深刻的论述。该书卷二“论整根递加图第一”一节开篇论道：

算学之递加图犹农夫之耒耜，渔人之纲罟也，亦犹璇玑回文，纵横反复皆成文也。数虽至约，理则无穷。凡算法之精深者，皆不外乎是。^[44]

这与前文提到《万象一原》卷一末的识语表达意思一样，文字上甚至还有雷同。而夏氏在《洞方术图解》自序中称：(www.daowen.com)

方积之递加，加以较也。较之递生，生于三角堆也。较加较而成积，亦较加较而成较，且诸乘方积之数与诸乘尖堆之数，数异而理正同。三角堆起于三角形，故累次增乘皆增以三角。方积起于正方形，故累次增乘皆增以正方。三角之较，数增一根，则增一较；方积之较，数增一乘，则增一较。理正同也。累次相较，较必有尽。惟其有尽，乃可入算。相连诸弦矢所以愈相较而较愈均者，正此理矣。^[45]

卷二“图解”开篇就对递加图，即贾宪三角形详加讨论，给出了很多新的性质。递加图实则是一个差分表，指向高阶等差数列求和。这卷主要内容就是运用高阶等差数列的各阶差分，借助表格，仅用加减法造正弦函数和正矢函数表。而这一方法的关键是要明确np 的差分表达式（夏氏称“单一起根诸乘方诸较图”），故称“洞方术”。^[46]当是时（1857年），《代微积拾级》还没有刊刻，夏氏并没有看到。

对照可以看出，《万象一原》卷一“用术”是秉承《洞方术图解》中的递加数。虽然注“微分术”，但于夏氏而言，这里的微分术就是运用递加数得到函数级数展开式的方法，所以邹伯奇评述说“曲线与堆垛相通”^[47]。

夏鸾翔在写《万象一原》之前就已经看到《代微积拾级》，而且还有相当的研究，但他并没有运用泰勒公式和麦克劳林公式求幂级数展开式，而仍是自然而然地求助于传统的递加数。华蘅芳在《学算笔谈》卷十二中评论道：

尝观徐氏《务民义斋》、项氏《下学庵算书》、夏氏《万象一原》《少广缒凿》，其所创屡乘屡除各术皆不言立法之根，疑其有意秘匿。嗣知徐氏、夏氏皆本项氏之法，其立法之根实从廉法表中递加之数悟得其理，与西法之二项例无异。惟当时二项之例尚未译出，项氏深思而得之以递加之数明弦矢之本，作书七卷，名曰《象数一原》。^[48]

华氏此番评论，是在卷十“论微分”和卷十一“论积分”之后，时间至少是在1882年以后^[49]。当是时，华氏对微积分有相当的理解，他认为夏鸾翔的“屡乘屡除”之法就是“递加数”，只不过与“西法之二项例无异”，“二项例”指的是《代微积拾级》中介绍的函数的二项式展开式。

可见，中算家对微积分的早期理解就是将“微分术”几乎等同于级数展开式的求法，而级数展开法在中国传统数学中以递加数就可解决。因此在夏氏看来，“微分术”就是“递加数”。他在解决曲线求积问题上的基本方法是“递加数”结合《代微积拾级》中的“积分术”。

相较于其师项名达的椭圆求周术，夏鸾翔的成果无疑是进步了。项氏在得到式（3.2.5）的过程中必须推求等分圆周时正矢各次幂的级数求和公式[式（3.2.4）]。式（3.2.4）的得到无疑是富有技巧性的，但不具有一般性。夏氏的先进之处在于吸收了《代微积拾级》中的高等方法——积分术，因而他的成果更丰富和具有一般性。

但是要想夏氏吸收《代微积拾级》中的代数式表达方法，这中间他们还得补充解析几何的知识，以填充几何代数的知识结构。可他们对这些并不在意，这从夏氏处理二次曲线求积问题时根本不用二次曲线的方程就可以看出。如果他接受《代微积拾级》的符号表达，可能更有利于微积分在中国的传播，他的成果也不会显得笨拙。后来卢靖的《万象一原演式》就是将夏氏所有的结果换成代数表达式。

可以看出，中算家对微积分的吸收与自身的知识结构有关。夏鸾翔在曲线求积问题上的成果，是他在自身的知识基础上吸收《代微积拾级》中的积分术所取得的，其特色与创造性显然，其不足亦显然。^[50]