《代微积拾级》只有计算椭圆绕长轴旋转曲面全面积公式，夏氏创立旋转曲面部分面积的级数展开式。《万象一原》卷四“椭圆求大径端截盖壳积”术给出椭圆b2x2+a2y2=a2b2 上从点（0，b）到点（x，y）的椭弧绕长轴的旋转曲面部分面积A 为

这个公式的推导过程如下：

由《代微积拾级》卷十四第十款，曲线y=f（x）绕x 轴旋转曲面面积A的微分为

所以椭弧绕轴旋转曲面面积为

同理，“椭圆求小径端截盖壳积”术给出这段椭弧绕短轴的旋转曲面面积为

至于旋转双曲面的情形则要复杂一些。在《致曲术》中，将b2x2-a2y2=a2b2 绕x 轴旋转曲面部分面积分两种情况讨论。若a＜b，夏氏称相应的曲面为“笠体双曲线”；若a＞b，相应的曲面称为“钟体双曲线”。《致曲术》中这两种面积的求法称之为“笠体双曲线求截盖壳积”术与“钟体双曲线求截盖壳积”术，但只是有目而无术。夏氏注道：

右二术刻意求之，殊不可得。因双曲线求壳，立法必繁，不能不分级数。而求级之招差须以半心差幂乘半径幂除，又余弦幂乘半径幂除，以降其位。今双曲线之半心差与余弦俱大于半径，若用为乘除法，则位数不惟不降，而反升矣。……因阙此二题以俟明算君子之补缀焉。^[40]

而《万象一原》卷六“斜双曲线”中给出“斜双线求大径端截盖壳积”（即“钟体双曲线”）术，给出b2x2-a2y2=a2b2（x＞a）绕x 轴旋转曲面部分面积A 公式：

其中(www.daowen.com)

实际上

其中

这样便得到式（3.3.14）。

可以看出，在《万象一原》中夏氏对这两个问题的认识已经深入一层^[41]，但他没有指出式（3.3.14）只有当时才收敛。

《致曲术》“抛物线”中给出“抛物线求截盖壳积”两术，一为《代微积拾级》中的结果：

夏氏认为该术“必法线大于半通径乃可。若正弦小于半通径，则法线亦小于半通径而不可求矣”。[法线为，显然式（3.3.16）对于y≥0 均成立，夏氏的论述有误。] 夏氏于是另立一术，“正弦愈小降位愈易，亦以济右术之穷也”。术如下：

其中0≤y≤p。