《万象一原》卷四“二次线（椭圆线）”专论有关椭圆的各种求积问题。在给出其师项名达和戴煦二人的椭圆求周术后，夏氏继续讨论其师当年未曾想到的“截椭弧”，即椭圆弧长问题。他先给出“椭圆求大径端余弦上截椭弧”求长公式，即椭圆b2x2+a2y2=a2b2 上从点（0，b）到点（x，y）的一段椭弧长L 公式。该公式以“递加数”形式给出：

先求乘法：法以大半径幂乘第一数（第一数见后），二除之于上，另置正弦幂减大半径幂，平方开之，为椭余弦。以借正弦乘之，二除之，以减上位，为第一乘法；三倍大半径幂乘第一乘法，四除之于上，另置椭余弦，以借正弦立方乘之，四除之，以减上位，为第二乘法；五倍大半径幂乘第二乘法，六除之于上，另置椭余弦，以借正弦四乘方乘之，六除之，以减上位，为第三乘法。下皆如是，依次列之为逐数乘法。

借正弦之平圆弧背为第一数正；置半心差幂以大半径立方除之，二除之，第一乘法乘之，为第二数负；次置第二数，以半心差幂乘之，大半径二乘方除之，一乘之，四除之，第一乘法除之，第二乘法乘之，为第二数负；次置第三数，以半心差幂乘之，大半径三乘方除之，三乘之，六除之，第二乘法除之，第三乘法乘之，为第四数负；次置第四数，以半心差幂乘之，大半径三乘方除之，五乘之，八除之，第三乘法除之，第四乘法乘之，为第五数负。顺是以下皆如是，求至单位下止，乃正负并减，为大径余弦上截椭弧。

此术有注曰“本《代微积拾级》第十八卷”，说明此术的来源。《代微积拾级》卷十四第八款给出曲线y=f（x）的弧长微分式为

《代微积拾级》卷十八给出椭圆弧长公式为椭圆积分的级数展开式，即

其中

l2m（m=0，1，2，…）即为夏氏术中的“第（m+1）乘法”。在《代微积拾级》第十七卷，就利用分部积分的变形形式得到了这些结果。显然，式（3.2.7）不是一个幂级数展开式。

当“用术”中式（3.3.1）至式（3.3.4）中n=2，a=1 时，有

则相应的l2m（m=0，1，2，…）的级数展开式依次为

考虑到式（3.3.7）中l2m 前的系数，可以得到《致曲术》中“椭正弦求椭弧背术”的椭弧长公式的幂级数展开式

必须指出的是，这些级数满足0≤x≤a，这恰好在收敛域中。式（3.3.8）是《代微积拾级》中没有的，也没有收入《万象一原》，当x=a 时能得到项名达的椭圆求周术[式（3.2.5）]。

夏氏椭圆弧长公式（3.3.8）的原术文在《致曲术》中称之为“椭圆求椭弧背术”，夏氏的表述为：

椭圆正弦为第一数；次置第一数以椭圆正弦幂乘之，椭半径幂除之，一乘之，又一乘之，二除之，三除之为第二数；次置第二数以椭正弦幂乘之，椭半径幂除之，三乘之，又三乘之，四除之，五除之为第三数；次置第三数以椭正弦幂乘之，椭半径幂除之，五乘之，又五乘之，六除之，七除之为第四数。顺是以下皆如是，求至单位下，乃相并为总第一数（凡用大半径幂者总第一数正以下均负，用小半径幂者总一二数正以下负正相间）。

置半心差自乘方以椭正弦立方乘之，椭半径三乘方除之，二而一，三除之为第一数；次置第一数以椭正弦幂乘之，椭半径幂除之，一乘之，三乘之，二除之，五除之为第二数；次置第二数以椭正弦幂乘之，椭半径幂除之，三乘之，五乘之，四除之，七除之为第三数；次置第三数以椭正弦幂乘之，椭半径幂除之，五乘之，七乘之，六除之，九除之为第四数。顺是以下皆如是，求至单位下，乃相并为总第二数。

置半心差三乘方以椭正弦四乘方之，椭半径七乘方除之，二而一，又四而一，五除之为第一数；次置第一数以椭正弦幂乘之，椭半径幂除之，一乘之，五乘之，二除之，七除之为第二数；次置第二数以椭正弦幂乘之，椭半径幂除之，三乘之，七乘之，四除之，九除之为第三数；次置第三数以椭正弦幂乘之，椭半径幂除之，五乘之，九乘之，六除之，十一除之为第四数。顺是以下皆如是，求至单位下，乃相并为总第三数。

……

如是叠次求之，求得总数降至单位下止，乃以诸总数正负并减为椭圆弧背。

同理，《万象一原》卷六“二次曲线（斜双曲线^[39]）”第一术“斜双线求大径端弧背”为：

先用小半径幂除大半径幂，四而一，加入小半径幂，平方开之为常数；乃置小半径幂，加正弦幂（此正弦与小径平行），平方开之，名曰开数。(www.daowen.com)

开数加正弦之呐氏对数，以半径之呐氏对数减之为一率，常数乘之，为第一数正；正弦二之一乘开数，以一率乘小半径幂二之一减之为二率，常数除之，二除之为第二数正；正弦立方四之一乘开数，以二率乘小半径幂四之三减之为三率，常数立方除之，一乘之，二除之，四除之为第三数负；正弦四乘方六之一乘开数，以三率乘小半径幂六之五减之为四率，常数四乘方除之，一乘之，三乘之，二除之，四除之，六除之为第四数正（以下一正一负相间）。顺是以下皆如是，求至单位下止，乃正负并减为大径端弧背。

此即双曲线b2x2-a2y2=a2b2 上从点（a，0）到点（x，y）的弧长L 的“递加数”形式。记

常数，开数，

一率l1=ln（q+y）-lnb=-lnb，

二率，

……

则

实际上当x＞0，y＞0 时，x=，由dL=得

则

其中

可以看出，式（3.3.10）的lm 与式（3.3.9）中“第m 率”意义相同。但比较两式可知，夏氏原术的“常数”有误。双曲线弧长算法在《代微积拾级》中也没有，显然此术可依式（3.3.7）平行得到。

同理，若将

代入式（3.3.10）中，可得到双曲线弧长公式的幂级数展开式，此即《致曲术》“双曲线”一节中的“双曲线正弦求弧背”术

夏氏指出“若本正弦大于本半径，则此术不能求”，即认为0≤y≤b，实际上他仅考虑级数展开的收敛区间，若同时考虑[1+展开的要求，则应满足0≤y≤。必须指出的是，夏氏此术有符号的错误，式 （3.3.11）已作校改。式 （3.3.10）、式 （3.3.11）均为夏氏所得。

至于抛物线y2=2px 上从点（0，0）到点（x，y）的弧长L 公式，《代微积拾级》中给出一求法，即

夏氏给出式（3.3.12）的级数表达式，即

夏氏注曰“凡正弦大于半通径，则此术不能求”，即指出这个级数在0≤y≤p 时收敛。