夏鸾翔（1825—1864年）^{[33] [34]}，字紫笙，浙江钱塘（今杭州）人。17 岁补县学生员。咸丰七年（1857年）得詹事府主簿，不久升为光禄寺署正。第二年因母丧归家。同治二年（1863年）初到达广州，不久结识邹伯奇（1819—1869年）和吴嘉善（1820—1885年），三人相得益彰，共同治算。同治三年五月，年仅四十的夏鸾翔病死于广州旅舍。夏鸾翔的数学研究师从项名达和戴煦，他“年少聪颖，讲究曲线诸术，洞析圆出于方之理”，著作有《少广缒凿》（约1850年）、《洞方术图解》二卷（1857年序）、《致曲术图解》二卷（《致曲术》与《致曲图解》）^[35]、《万象一原》九卷（卷首一卷，1862年序）。其中，《致曲术》与《万象一原》是夏氏研究曲线求积问题的代表作。

《致曲术图解》没有注明成书年代。《致曲术》中“平圆”部分最后有识语说：

杜术弦求弧背则迳求之，矢求弧背乃先求其幂，用术不齐。余尝疑焉。辛酉（1861年）岁暮偶用西人微积分推得矢求弧另术，可不求弧幂而迳得弧。^[36]

又《致曲图解》“总论”称：

天为大圆，天之赋物莫不以圆。顾圆虽一名，类乃万族，循圆一匝而曲线生焉。西人以线所由生之次数分为诸类。一次式惟直线，二次式有平圆、椭圆、抛物线、双曲线四式，三次式有八十种，四次式有五千余种，五次以上盖不可考矣。

按《代微积拾级》卷八“诸曲线依代数式之分类”称：

平圆、椭圆、抛物线、双曲线之式，皆二次式也，凡二次式之线俱归入此四种。凡三次式之线有四类。第一类共有曲线七十三种。……第二类只有一种。……第三类有五种曲线。……第四类只有一曲线。……四类共八十种，皆三次式线也。欧楼（现一般译为“欧拉”）分四次式曲线为一百四十六类，共五千余种。五次以上曲线之种类愈多，未能悉考也。

对照可知，夏鸾翔的曲线分类法来自《代微积拾级》。另外，《万象一原》的自序时间为同治元年（1862年）初春，该书中很多术文注有“已见《致曲术》”字样，可见《致曲术》成书当在《万象一原》之前。由上三条推知，《致曲术图解》两卷成书应在1860—1861年间。

《万象一原》九卷，卷首一卷，序成时间为1862年初春。夏氏在序言中交代了此书成书的背景和自己的研究心得。他说：

圆出于方而圆形不一，曲线之名因而万殊焉。昔人所谓有法者，只一平圆，至椭圆曲线古已遗之。吾师项梅侣先生澄思渺虑，立术以求椭周，继之者鄂士戴氏、钧卿徐氏各立一术，而椭周乃为有法之形。然止能求椭周，不能求截椭弧，且不能求诸曲线之弧与曲面与面积与体积，亦憾事也。自奈端（指牛顿）、来本（指莱布尼茨）之二家作横直二线，以驭曲线，创名曰微分、积分。于是昔所谓无法者，今皆有法。形虽万，法则一，诚算学之功臣也，亦人生之快事也。余迩年避乱于吴门、于平湖、于南汇、于铁河，暇则细寻微积分奥窍，疏而演之，凡一百余术，法乃寖备，几何之学至是而无纤芥之憾矣。^[37]

由此可知，夏氏生前已经看到《代微积拾级》而且有一定的研究，所谓的“万象一原”是指各种曲线（万象）有统一的“原”，那就是“微分、积分”。

《万象一原》整体格局比较清晰，所给公式均以语言叙述的形式列出，但各公式都没有具体的说理和推演过程。考虑到《致曲术》中的成果几乎全被《万象一原》引用，而且《致曲术》中有目无术的两题在《万象一原》中得到解答以及两书成书时间的先后，可以认为《万象一原》是在《致曲术》的基础上发展起来的，包含了《致曲术》的研究成果。因此，本节着重讨论《万象一原》中对二次曲线求积问题的研究。(www.daowen.com)

卷首为“诸曲线释形”，主要解释16 种曲线的形成与表达，简介如下。一次线2 种：方斜线（正方形对角线），勾股线（长方形对角线）。二次线5种：平圆线，椭圆线，正双线（等轴双曲线），斜双线（一般双曲线），抛物线。三次线4 种：二乘圆线，半立方抛物线，立方抛物线，三乘圆线。超越曲线5 种：摆线，对数曲线，亚奇默德螺线（阿基米德螺线），对数螺线，双线螺线（双曲螺线）。

卷一为“用术”，其下有小字注说：“卷一为微分术，卷二以下皆积分术。”这就表明该书都是用“微积分”处理曲线求积问题。所谓“用术”，实际上是20 个展开公式，是后八卷要用的基本公式。如：

“多次自乘求积”即An，“诸乘方求根”即，“多次自乘负积”即A-n，“诸乘方负根”即，“几乘方根之几乘方积”即（m，n 均为自然数），“几乘方根之几乘方负积”即，“真数之讷氏对数”即lnx，“真数之讷氏负对数”即等函数的展开式。其中，的展开式是后文运算的基础，在此予以说明。

其中，式（3.3.1）、式（3.3.2）为项名达、戴煦所创，即为本章第一节中的式（3.1.4）和式（3.1.5）。式（3.2.3）、式（3.3.4）为夏氏变换项氏、戴氏两术所得。

事实上，项名达有一术

戴煦学习此式得到

利用变换

由项戴两式就可以得到式（3.3.3）与式（3.3.4）。

这5 式为项名达、戴煦所创，夏氏统一改写成“递加数”形式。可见，夏氏“用术”中所谓的“微分术”，实际是指不同指数类型的幂函数以及对数函数的展开式，这与《代微积拾级》中介绍的“微分”有较大的差距。

卷二至卷九在卷一的基础上，依次讨论卷首所述16 种曲线对应的求积问题。卷四至卷七在卷一的基础上，利用积分术依次讨论椭圆线、正双曲线、斜双曲线、抛物线等二次曲线所对应的求积问题。由于该书是夏氏“身后遗稿，付梓时校核未详，故或脱落数行，或自注可删而未删”^[38]，刊刻错误很多，尤其是后两卷。由于先有《致曲术》的基础，夏氏对二次曲线积分问题的研究相对成熟，该问题也是《万象一原》的主要工作。下面以夏氏关于二次曲线弧长、旋转体表面积的求法为例予以讨论，以见其成就之大概。