董祐诚（1791—1823年），字方立，江苏阳湖（今常熟）人，嘉庆二十三年（1818年）举人。嘉庆二十二年随兄基诚客居北京，此后数年主要从事数学研究。遗稿由其兄编为《董方立遗书》九种十六卷，包括数学著作四种六卷。其中，《椭圆求周术》为董氏1821年所著，是为中算家对椭圆周长问题探究的开始。

董氏依据朱鸿斜截圆柱得到椭圆的说法，试图用勾股定理求出椭周长。如图3-2-1，ABCD 为斜截圆柱得到的椭圆，AB 为大径，CD 为小径，等于圆柱底圆直径AB′。为半椭周，为半底圆周。董氏认为：

以圆柱中径言，则庚辛（AB）大径为弦，壬辛（AB′）小径为勾。以圆柱外周言，则庚子辛弧（）椭圆半周为弦，壬辛弧（）圆柱平圆半周为勾，而同用庚壬（BB′）为股。

图3-2-1

设a，b 分别为椭圆的长半轴和短半轴（圆柱底圆半径），由勾股定理，董氏的椭圆周长p 为

董氏在释术中解释道：

圆弧得成勾股者，《九章》勾股“葛生缠木”术之意。

《九章算术》勾股章“葛生缠木”原题如下：(www.daowen.com)

今有木长二丈，围之三尺。葛生其下，缠木七周，上与木齐。问葛长几何？

答曰：二丈九尺。

术曰：以七周乘围为股，木长为勾，为之求弦。弦者，葛之长。

表面上看，此题与斜截圆柱得到椭圆有形似之处，正因如此，董氏椭圆求周术仿照此题，BB′对应“木长”，对应“围”，则椭周“自然”对应“葛长”了。

显然，董氏椭周公式是错误的。因为斜截圆柱固然可得到椭圆，但“葛生缠木”所形成的却是螺线，因而不能按勾股定理计算。罗士琳指出：

盖葛生缠木，若使两面对缠，相交处必有角，故可借为勾股形求之，而椭周之形则为斜剖之圆柱，与葛缠者迥异，其受剖处无痕迹可寻，故能有合于长圆而不能有合于勾股，以其相交处无角也。夫其相交处无角则其形不同，其数必恒小于椭周，信非通法。^[20]

如第一节所述，董祐诚将垛积术与连比例四率法结合，创新了弧矢互求的方法，数学水平很高的董祐诚为什么在探究椭圆周长公式时会出现这样“低级”的错误呢？我们看到，“椭圆求周，旧无其术”，面对这一全新课题，董氏明显的思路就是企图从已有的知识体系中找到解题的基础，《九章》中“葛生缠木”题中所描述的曲线就是一个结合点，只不过董氏只是注意到两题表明的相似而已。但是，我们可以看出在处理传入知识时，董氏首先是想从自身的知识结构中寻求可以同化陌生知识的结合点，进而去“解决”椭圆周长这个新的数学问题。这正是董氏错误的意义所在。这次探索虽不成功，但他提出了椭圆求周的问题，可以说是中国数学家在椭圆问题上有所独立性研究工作的开始。

董氏椭周公式的错误在《椭圆求周术》刊刻之前罗士琳就指出来了，但由于其兄董基诚“既不知算，兼以友爱其弟，不忍湮没其所著之书，坚不节去此术”，这篇文章才得以流传，成为我们探讨西方数学在中国传播情形的一个有意思的案例。