晚清译介的微积分著作主要有两部：1859年由伟烈亚力和李善兰合译出版的《代微积拾级》（18 卷），1874年由傅兰雅和华蘅芳合译出版的《微积溯源》（8 卷）。后者在江南制造局刊印，英文底本是《大英百科全书》（Encyclopaedia Britannica）第8 版（1853—1860年）中英国数学家华里司（William Wallcae，1768—1843年）撰写的“流数术”（Fluxions）词条。华蘅芳在《微积溯源》的序言中称：“余既与西士傅兰雅译毕《代数术》二十五卷，更思求其进境，故又与傅君译此书焉。先是咸丰年间，曾有海宁李壬叔与西士伟烈亚力译出《代微积拾级》一书，流播海内，余素与壬叔相友，得读其书，粗明微积二术之梗概，所以又译此书，盖欲补其所略也。”^[7]可见，华、傅二人翻译此书是为了弥补《代微积拾级》的不足，它的内容较《代微积拾级》丰富，也更为系统，所介绍的微积分知识整体较《代微积拾级》高，但在晚清的影响不及《代微积拾级》。

在此以《代微积拾级》中极限、微分、泰勒展式、积分等几个概念为例，简要分析晚清传入微积分的特点。此书卷10—16 介绍微分学，卷17—18 介绍积分学。《代微积拾级》底本虽然是1852年出版，但所介绍的微积分并非以极限论为基础的。书中对函数的连续性、可导性和级数的收敛性等问题均不讨论。微分部分倒是从“极限”开始，《代微积拾级》称：“凡变数有限，限者，其数为变数所渐近而永不能到，或必不能过，故谓之限。”（卷十页二）“限”是“极限（limit）”的翻译，英文原文是：

The limit of a variable quantity is that value which it continually approaches，so as，to differ from it by less than any assignable quantity.^[8]

显然这个定义是描述性的，全书也没有引入严格的ε-δ 语言。

“微分之理乃详明函数及自变数两变比例相与之比例”（卷十页六），英文原文是：

The object of the Differential Calculus is to determine the ratio between the rate of variation of the independent variable，and that of the function into which it enters.(p.118)

微分的定义是“函数与变数之变比例俱谓之微分，用彳号记之”（卷十页八—九），英文原文是：

The rate of variable of a function or of any variable quantity is called its differential，and is denoted by the letter d placed before it.(p.120)

求微系数（微商、导数）的法则：“一切独变数函数之微系数可类推。法任以长数若干加于自变数，求得函数之同数，以原式减之，又以辛约之，乃令辛为〇而求比例之限，所得即微系数。”（卷十页十）对应的英文原文是：

RULE Give to variable any arbitrary increment h，and find the corresponding value of the function；from which subtract its primitive value.Divide the remainder by the increment h，and find the limit of this ratio，by making the increment equal to zero；the result will be the differential coefficient.(p.122)

综上，在这里，求微商（“微系数”）就是在求得函数与变量的增量比之后令增量（“长数”）为0 的运算，即

进一步，该书先证明幂函数的增量函数可以展成级数形式，进而推广到任何函数的增量函数u（x+h）可以展成h 的幂级数，在这个基础上认为u（x+h）为三部分之和：

以戌为天之函数，天变为天⊥辛，则所得函数为三者所和。一，原函数戌；二，原函数之微系数乘辛；三，天辛二元之函数乘辛平方。

用现代数学符号表示即

在之后的卷十一“叠微分”，即高阶微分，此卷第一款和第三款分别介绍了“马格老临公式”和“戴劳公式”，即现今一般译作的麦克劳林（C.Maclaurin，1698—1746年）公式和泰勒 （B.Taylor，1685—1731年）公式，两人的人名当时分别译为“马格老临”和“戴劳”。推导（说理）过程是，先以二项式函数的展开式为例例证任何函数u（x）可以展成x的幂级数形式，然后用待定系数法和逐阶求微商的方法证明这一级数的各次项的系数与高阶微商的关系，从而得到泰勒展式。用现代的数学符号表示如下：

《代微积拾级》卷十一第一款（墨海书馆本）

《代微积拾级》这个证明其实还是例证推导，并不严格。

《微积溯源》第31 款和第39 款也给出这两式，并明确指出前者是后者的特殊情形，逻辑较《代微积拾级》清楚，并且还“证明”了任何函数都可以展成幂级数。这两部译著采用李善兰和伟烈亚力创建的汉译代数符号，如（3.1.9）式当时表示成

之后，《代微积拾级》中很多理论推导的基础就建立在泰勒展式上，如证明曲边梯形的面积微分、旋转体的体积微分、表面积微分以及曲线弧长、曲率等。(www.daowen.com)

需要指出的是，《代微积拾级》和《微积溯源》中级数表达式直接展开，收敛性和余项均不讨论，涉及的函数均为初等函数，但两书均认为“任何函数”都可以展开成幂级数形式。展开式各项系数主要是高阶微商，即“叠求微系数”，因此晚清常提到的“叠微分之法”一般都指向这两个公式。作为示例，书中用这两个公式推导了二项式展开式、指数函数的幂级数、三角函数的幂级数，显示出了很强的程序性和算法特点。

在现代数学中，泰勒公式是现代有限差分的理论基础，其重要意义在于表明充分光滑的函数可以用多项式进行局部逼近，它使得单变量函数幂级数展式在理论上成为可能，具有很强的一般性。^[9]因为《代微积拾级》和《微积溯源》两书涉及的大都是初等函数，在“充分光滑的函数”范围内。

至于“积分”，《代微积拾级》卷十七“积分”的“总论”称，“积分为微分之还原。其法之要在识别微分所由生之函数”，英文原文是：

The Integral Calculus is the reverse of the differential Calculus，its object being to determine the expression or function from which a given differential has been derived.(p.217)

在这里，积分看成是微分的逆运算（reverse）。这句话也指出微分和积分的关系如同加法与减法、乘法与除法的关系，起到“微积分基本定理”的作用。华蘅芳在《微积溯源》的序中直接指出了这一点，他说：“其积分术为微分之还原，犹之开平方为自乘之还原，除法为乘之还原，减法为加之还原也。”^[10]黄启明在《微积通诠》中也说：“积分为微分之还原，既知微分所由来，便知积分之法之由立。故学积分者不必论其理只可论其法耳。”^[11]积分定义之后，介绍了各种函数的（不定）积分以及运算的技巧，遇到“不可积函数”时则直接运用泰勒公式将其展开成无穷级数，然后逐项积分。

《代微积拾级》的第18 卷、《微积溯源》的第7 卷介绍了积分的应用，主要有求面积与体积、曲线弧长以及旋转曲面的表面积和旋转体的体积，显示了积分术在求积问题上强大的功效。

纵观晚清所译介的微积分，是以微分为中心，积分被当成微分的逆运算。泰勒公式是微积分算法的基础。

实际上，在微积分的发展史中，泰勒当时也认为，有限差分和极限既可解释牛顿的流数法又可解释莱布尼茨的微分法，流数法的原理全部能从增量的原理直接推导出来。但如何从有限差分过渡到流数，他并不清楚，认为只要把“初始的增量”写成零就行了。因此，他先从有限差分出发，得到格雷戈里—牛顿内插公式，然后令其中的初始增量为零，项数为无穷，既没有考虑级数的收敛性，也没有给出余项的表达式。^[12]即便是牛顿和莱布尼茨，他们当时也都认为微积分是代数的扩展，是“无穷”的代数，或者是类似于无穷级数那样具有无穷多项的代数。^[13]他们之后的半个世纪，拉格朗日在他那部著名的《解析函数的理论，包括微分学的原理，从无穷小量或渐进于零的量、极限或流数的每一种考虑中解脱出来，简化到有限量的代数分析》（一般简称为《解析函数论》，1797年）中，将泰勒公式刻画为微积分的基本定理，并将其作为自己工作的出发点。按拉格朗日的观点，微分就是求展开式线性项的系数（导函数），积分是通过系数（导函数）求原函数，微积分运算就是建立在函数的幂级数展开上。微积分在他看来只是初等代数的一个推广。^[14]

《代微积拾级》中的微积分事实上继承了这些观点，本质上属于拉格朗日传统。在南菁书院学习的杨冰曾作文《微积术补代数未尽说》，也把微积分当成代数的一个分支，他说：

今之学者耳微积之名，或诧为神奇，或疑为隐奥，苦无以诱其人也，则告之曰：微积术所以补代数未尽也。夫几何之学，拘于迹象，而不能如积，于是有天元补其未尽；天元之学苦于演数，而不能求公式，于是有代数补其未尽。代数既创，可谓尽矣，然而未定之数，必资于大衍（《代数术》二十一论未定之相等式，与《数书九章》大衍类实为一法），循环之数，或证以连分，驭指数以对数，驭无穷以级数，驭割圆以八线。若此类者，多非代数常法所能解，而皆统于代数，良以代数之名，固无所不赅，微积之于诸法，用虽不同，其为代数之支派一也。^[15]

如前文所述，在微积分和泰勒公式传入之前，清代中期数学家在研究一些弧矢互求问题中，已经形成了自己独特的关于三角函数、对数函数幂级数展开的研究传统，并已经触及微积分。伟烈亚力曾评述道：

微分、积分为中土算书所未有，然观当代天算家，如董方立氏、项梅侣氏、徐君青氏、戴鄂士氏、顾尚之氏、暨李君秋纫所著各书，其理有甚近微分者，因不用代数式，故或言之甚繁，推之甚难。^[16]

两相对照，传入的具有现代数学特点的泰勒公式和“积分”不仅具有很强的一般性，还具有很好的程序性和算法特点，这从“叠求微系数”的“叠”字就可看出，优势明显。李善兰在《代微积拾级》的序中称有了“微分术”和“积分术”：

由是一切曲线、曲线所函面、曲面、曲面所函体，昔之所谓无法者今皆有法。一切八线求弧背、弧背求八线、真数求对数、对数求真数，昔之视为至难者，今皆至易。呜呼，算术至此观，止矣，蔑以加矣！^[17]

《代微积拾级》还在翻译期间，他就对造访墨海书馆的华蘅芳说：“此为算学中上乘功夫，此书一出，非特中法几可尽废，即西法之古者亦无所用之矣。”^[18]此处“上乘功夫”显然指微积分。《王韬日记》咸丰九年（1859年）三月十八日中记载：（指梅文鼎）恐将瞠乎其后矣。”^[19]

壬叔亦谓：“当今天算名家，非余而谁？近与伟烈君译成数书，现将竣事。此书一出，海内谈天者必将奉为宗师，李尚之（指李锐）、梅定久

这些都表明，李善兰等数学家对微积分的功效很清楚，也很期待。按理说，这种处理曲线求积问题更快捷、更具有竞争力的方法应该很快就被晚清数学家所理解和接受，很大程度上可以解决之前传统方法“言之甚繁”“推之甚难”的问题，但是事实上并非如此，“微积分”甚至一度还被忽视或忽略。以下几节我们将考察从19世纪20—90年代清代数学家处理二次曲线求积问题所用方法的变迁情形，从中可以看到影响数学知识传播的一些独特原因和规律。