1701年，法国人杜德美（P.Jartoux，1668—1720年）来到中国，将三个幂级数展开式传入中国，以现代数学符号表示即下列三式：

“求周径密率捷法”

“求弦矢捷法”

其中，r 为圆半径，a 为圆心角θ 所对的弧长。上列三式后人一般称为“杜氏三术”。第一式由牛顿给出，后两式由格里高利给出。这三式由梅瑴成（1681—1763年）首载于《赤水遗珍》。但三术立术之原并没有随之传入，也由此给清代算学家留下了探究的空间。

乾隆初，明安图在其《割圆密率捷法》中创立割圆连比例法并结合连比例四率法给出六术证明了杜氏三术。明氏六术与杜氏三术被时人合称为“杜氏九术”。所谓连比例，是指在一个等腰三角形中，以底为腰在内部再作等腰三角形，依此类推，直至无穷。这样可得到一系列的具有连比的线段。由于等腰三角形的一腰为圆内接正多边形的一边，故称“割圆连比例”。^[2]明氏这种思想源于梅文鼎和《数理精蕴》。

明氏的割圆连比例来源于梅文鼎的《几何通解》中讨论“理分中末线”（黄金分割线）时建立的“递加法”。梅氏的具体做法是：如图3-1-1，等腰三角形ABC 的顶角∠A 为36°，依次作出线段BD，DE，EF，FG，…，使得它们依次平分∠B，∠BDC，∠DEC，∠EFC，…。这样系列线段AB，BD，DE，EF，FG，…中任意相邻三个都构成“理分中末比”，系列三角形ΔABC，ΔBCD，ΔCDE，…构成一串相似的比例三角形。

图3-1-1

明氏的连比例四率法和级数回求法来源于《数理精蕴》下编卷十六“由本弧通弦求其三分之一弧通弦”一术和“六宗三要二简法”。《数理精蕴》无疑扩充了中算家们的知识构成，也为中算家探讨杜氏三术之原提供了知识基础。

明安图的割圆密率捷法开创了清代中期对三角函数幂级数展开式研究领域，同时也为后世研究同类问题提供了研究思路，并奠定了相应的知识基础。(www.daowen.com)

明氏殁后，由于传统数学著作的整理与注疏，中国传统数学出现了复兴，主要内容是汉唐十部算经和宋元主要数学著作复显于世（1774—1840年），数学知识存量和层次较之清初显著增加和提高。以天元术与垛积术、招差术为代表的诸多中国传统数学知识经过清代中期的数学家研究、讨论后逐渐被吸收并成为自己的知识构成，为进一步研讨其他数学问题提供了知识储备和基础。

1819年，董祐诚（1791—1823年）的《割圆连比例术图解》（三卷）运用连比例法求得倍弧通弦与一分之弧通弦以及倍弧中矢与二分之弧中矢两个解析表达式，并敏锐观察到了这两式的各项系数与贾宪三角形之间的关系。在三角垛求和公式的基础上，董氏创造性地提出不同阶的三角垛的加减运算，使得两式中的系数的计算建立在三角垛的基础上，又在垛积还原法的启发下，成功地解决了弦矢求弧问题，又得到两个解析表达式。就这样，董氏认为他把垛积术与连比例四率法结合得到的四术，就是杜氏九术的立法之原。董氏的方法为以后学者研究弧线形求积提供了方法指导，被后学传承和发展。^[3]

随后，项名达（1789—1850年）承续董氏幂级数的工作，著成《象数一原》（六卷，1843年），推广董氏的方法并将他的四术概括为二术。项氏也注意到幂级数展开式系数与贾宪三角形之间的关系，他将贾宪三角形稍加变形成所谓的“递加图”^[4]，之后由他的入室弟子夏鸾翔发展成为“递加数”，成为夏氏研究曲线求积问题的重要工具。而董祐诚在垛积术方面的成就则为李善兰继承和发展。^[5]

图3-1-2递加数图

另外，为了改进《数理精蕴》介绍的对数造表法，大约1845年，项名达与戴煦（1805—1860年）得到的几个级数展开式，进而得到对数函数的展开式^[6]，其中两术是项名达与戴煦椭圆求周术的基础公式，表述如下。

特别的，当n=2 时，得到二项式平方根展开式

以上是清代中叶发展起来的幂级数展开法的大致脉络，也就是这一时期沉淀出了处理圆曲线求积问题的一般方法——“递加数”，而这种方法立即被用到了椭圆等圆锥曲线求积的问题上，后者成了前者的“试金石”。

项名达就是运用这种幂级数展开法正确地得到椭圆周长的解析式。他之后的夏鸾翔、李善兰等人同样运用这种方法并吸收《代微积拾级》中的积分术对圆锥曲线求积的一般问题进行研究，得到了一些类似现代数学中的椭圆积分的成果。这些成果（项名达的椭圆求周术除外）可以看成是圆锥曲线知识传入中国的第二个阶段后中算家所取得的研究成果，主要特征是幂级数展开法与积分术的运用。