圆锥曲线知识的教学与普及与教会学校的数学教育有关。教会学校在中国的出现与发展，其本质是列强对中国的文化和教育的侵略行径，它以传播教义为根本目的。科学教育是教会学校教育的重要组成部分。数学作为基础学科，在教会学校的课程设置中受到普遍重视。因此，教会学校的数学教育客观上有利于数学知识的教育与普及以及中国数学教育的近代化。^[19]19世纪90年代在华基督教传教士大会下设的“学校教科书委员会”（School and Text-book Series Committee，中文名为“益智书会”）为教会学校编译了一系列教科书，其中涉及圆锥曲线（或解析几何）的有《形学备旨》（1885年）、《圆锥曲线》（1893年）和《代形合参》（1894年）。由于它们的编译风格结合中国人的阅读习惯，语言简洁明了，通俗易懂，使得中国人易于接受。这些教科书不仅被教会学校采用，而且还被很多新式学堂所采用，发行量很大。它们是当时中国许多学校所用教科书、参考书的主要部分，也是当时国人了解学习西方数学的重要来源。对于圆锥曲线知识而言，19世纪90年代进入了教学和普及的阶段，及至癸卯学制的颁行（1904年1月13日），普及则达到了制度保证的层面。下面就《圆锥曲线》以及《代形合参》二书内容以及龙城书院的圆锥曲线教学为案例进行分析，以见这一阶段圆锥曲线知识的教学、普及的大概情形。

1.教会学校教科书中的《圆锥曲线》和《代形合参》

《圆锥曲线》，美国罗密士原撰，由美国传教士求德生（J.H.Judson）选译，刘维师笔述而成。该书原书原附于《形学备旨》之后，选译之时单独成书，其中涉及的引理均来自《形学备旨》。因此，先简单介绍一下《形学备旨》。

《形学备旨》十卷，也是美国罗密士原撰，由美国著名传教士狄考文选译，蓬莱邹立文、莱阳刘永锡同述而成。光绪十年（1884年）狄考文序，十一年李宗岱序，同年在上海美华书馆出版。“形学”是对Geometry 的翻译，即现今的“几何”。全书除“凡例”“开端”外，共计10 卷，目录依次如下：

直线及三角形；比例；圆及角之度；多边形之角与度；求作；有法多边形及圆面；平面及体角；棱体；圆体三种；弧角形。

包含平面几何、立体几何和球面几何等知识。

狄考文在《形学备旨》序中论述了“几何”在数学及其应用中的基础作用，同时也批判了中国清代初期形成的“勾股即几何”的几何观，他说：

粤稽中国博学士所著之算书，如《九章》《算学启蒙》《算法统宗》《勾股六术》，良以甚多，第论及形学一事，不过勾股之理及各物量法而已。夫勾股之理固属紧要，然亦不过形学之一端。即量各物之法亦略而不详，大都因拟度而得，非因推证而得也。何若此书各题俱以不可疑、不可驳、显然易知之理证其恰当不差也。哉夫！然举凡人世所知之理，复无较形学之理更确凿，而无从间疑者焉。形学之大益有二。其一，使人积真理于心，以备算学之上乘之用。如八线、量地法、航海法、天文诸学，若非善于形学，断不能梯阶以进；况与代数参合，即成几何极上极奥之学。其二，使人练习灵才，能于诸事得其恰当之理。盖此学乃一脉贯通，先后相结倚而进，学者必精其心，持其纲，循其序，然后可造其极。故既证毕书中之诸题，即习成以理推事之妙诀。是形学正可为众理之备预也。^[20]

后来，求德生翻译《圆锥曲线》时称圆锥曲线是“形学”的一部分，是“形学中极广大而要者”，只不过当时狄考文翻译《形学备旨》时没有翻译这部分。求德生称：

尝考《形学》一书，于中朝周懿王时，泰西已有传焉。然当时所用之线惟直线与平圆周之曲线而已，故有数种习题不能凭此直线与平圆周一一推算出之者，是不得不另求他曲线以配之，即所谓圆锥曲线之三种也。迨赦王时，西方有阿桔弥提斯（即阿基米德）者，始行而效也，证抛物线所割面积等于外切矩形三分之二，并证椭圆面积与外切平圆面积有何比例。但古时惟究圆锥曲线之理，未明其用，迩来知圆锥学之用，为形学中极广大而要者也。比如，人掷物其受抛力与地之吸力时同所行之路必为圆锥学之抛物线，行星绕行太阳之轨道皆成椭圆之曲线，而彗星所行之轨道则备抛物线、双曲线、椭圆三者。以是知，欲讲求格致、天文等学，不能离乎圆锥学，而本书作自美国算学家路密司（Loomis 的另译），约略讲明三种曲线之理，原附《形学备旨》之后，故题中所引诸卷皆凭《形学备旨》云云。^[21]

《圆锥曲线》以综合几何的语言写成，分三部分，依次是抛物线、椭圆、双曲线（介绍顺序与《圆锥曲线说》不一样）。每部分以界说（基本概念）、基本定理、方法（以题的形式出现）和习题组成，体例与现代教材接近。基本内容与《圆锥曲线说》差不多，但较之后者语言更简洁，证明更详细，叙述更有逻辑性。下面仅叙述其定理内容，证明与图示从略，以现其大概。在此书中，将Proposition 翻译成“题”，现在一般译成“命题”。

抛物线部分：

第一题：有抛物线之心与准线，求作抛物线；

第二题：抛物线外之点距心大于距准线，抛物线内之点距心小于距准线；

第三题：自抛物线任一点出二直线，一至心，一与准线正交，则平分此二线交角之直线必为抛物线之切线；

第四题：通径四倍于首顶点距心线；

第五题：抛物线之切线与引增之轴线相交，切交二点距心等；

第六题：次切线必平分于首顶点；

第七题：次切线为通径之半；

第八题：自心出直线与任一切线正交，其交点必在直切线上；

第九题：轴直纵线方等于其横线乘通径；

第十题：若抛物线之二切线相交，自心出直线至二切点，及至交点，其所成之两三角形相似；

第十一题：自抛物线通弦两端作二切线相交，过此交点之径必将通弦平分；

第十二题：自抛物线通弦之两端作二切线相交，又将径线引长至交点，于径顶点之切线必与通弦平行；

第十三题：各径之纵线方等于其横线之四倍乘顶点距心线；

第十四题：凡径之通弦四倍于径顶点距心线；

第十五题：以平面与圆锥体边平行而割成之面周，必为抛物线；

第十六题：抛物线轴之倍纵线所割之，一分面积等于倍纵线与横线所成矩形之三分之二。

椭圆部分：

第一题：自椭周任一点至两心所成二线之和恒等于长轴；

第二题：有椭圆之长轴与二心，求作椭圆；

第三题：椭圆外之点距二心之后大于长轴，椭圆内之点距二心之和小于长轴；

第四题：椭圆之各径必皆平分于中点；

第五题：各心距短轴之端必等于半长轴；

第六题：自切点之二心之二线与切线所成之二角等；

第七题：椭圆各径之二顶点所作之二切线必定平行；

第八题：自径线之顶点作过二心之二直线与属径相交，此二直线被属径所截之二分，必各等于半长轴；

第九题：自椭圆之二心作二直线与切线正交，此二交点必在以长轴为径所作之平圆周上；

第十题：自二心与切线正交之二线相乘等于短轴之半方；

第十一题：自椭圆之任一点作切纵二线，与引长之长轴或短轴相交，所交轴之半必为二交点距中点连比例之中率；

第十二题：若于椭圆之长轴上作平圆，则椭圆与平圆相当之次切线等；

第十三题：此轴方比彼轴方，若二横线之矩形比其纵线方；

第十四题：于椭圆之任一轴上作平圆，其纵线比椭圆相当之纵线，若此轴比彼轴；

第十五题：通径于长短二轴连比例之末率；

第十六题：自二属径之顶点作二纵线至长轴或短轴，此二纵线方之和等于长轴和短轴之半方；

第十七题：凡二属径方之和等于二轴方之和；

第十八题：于二属径之四顶点作四切线所成之平行方形，必等于二轴所成之矩形；

第十九题：自任一径之顶点至二心所作二直线相乘必等于属径之半方；

第二十题：自椭圆之任一点作切纵二线，于任一径线相交，所交径之半必为二交点距中点连比例之中率；

第二十一题：凡径之方比其属径之方，若其二横线之矩形比其纵线方；

第二十二题：以平面割圆锥形使平面与圆锥形底所成角小于圆锥形边与底所成之角，此平面界必为椭圆；

第二十三题：椭圆之积必为以长短二轴为径，所作内外二平圆积连比例之中率；

第二十四题：椭圆任一点之距心线比此点距相属之准线，如距中线比长轴之半。

双曲线部分：

第一题：曲线上任一点距二心线之较必等于横轴；

第二题：有横轴与二心求作双曲线；

第三题：曲线外之点距二心之较小于横轴，曲线内之点距二心之较大于横轴；

第四题：双曲线之各径必皆平分于中点；

第五题：属轴之半为心距横轴二顶点线连比例之中率；

第六题：双曲线之切线平分切点距二心线之交角；

第七题：双曲线各径之二顶点所作之二切线必定平行；

第八题：自二心作二线过任一径之顶点与属径相交，此二交点至顶点之二距线各等于半横轴；

第九题：自双曲线之二心作二直线与切线正交，此二交点必在以横轴为径所作之平圆周上；

第十题：自二心与切线正交之二线相乘等于属轴之半方；

第十一题：自双曲线之任一点作切纵二线与引长之横轴或属轴相交所交轴之半必为二交点距中点连比例之中率；(www.daowen.com)

第十二题：若与双曲线之横轴上作平圆，则双曲线与平圆相当之次切线等；

第十三题：横轴方比属轴方若二横线之矩形比其纵线方；

第十四题：若于双曲线之横轴上作平圆，并自横轴之纵线底作平圆之切线，则纵切二线比若属横二轴比；

第十五题：通径为横属二轴连比例之末率；

第十六题：若双曲线之径为属曲线径之属径，自此二径之顶点至横轴所作二纵线方之较必等于属轴之半方，则属轴二纵线方之较亦必等于横轴之半方；

第十七题：凡二属径方之较等于二轴方之较；

第十八题：于二属径之四顶点作四切线所成之平行方形，必等于二轴所成之矩形；

第十九题：自任一径之顶点之二心所作之二线相乘必等于属径之半方；

第二十题：自双曲线之任一点作切纵二线与任一径线相交，所交径之半必为二交点距中点连比例之中率；

第二十一题：凡径之方比其属径之方若其二横线之矩形比其纵线方；

第二十二题：以平圆割圆锥形不过其顶，使平面与圆锥形底所成之角，大于圆锥形边与底所成之角，此平面界必为双曲线；

第二十三题：双曲线任一点之距心线比其距相属之准线，若距中线比横轴之半；

第二十四题：若将横轴之纵线引长与渐近线相遇，其被曲线所截二分之矩形必等于属轴之半方；

第二十五题：自双曲线上任一点作直线与渐近线平行，凡所成之平行方形必皆等。

《代形合参》三卷附一卷，美国罗密士原撰，由美国潘慎文选译，山阴谢洪赉笔述而成。光绪十九年（1893年）仲冬潘慎文序，翌年上海美华书馆出版。《代形合参》是系统讲述解析几何的教材，较之《代微积拾级》中的解析几何增加了空间解析几何的内容。

潘慎文在《代形合参》序中说：

算之为学，理深而用广，就其术而类分之，则名可约举也。曰数学，曰代数，曰形学，曰八线，曰微积，已足尽括而无遗，各类之中，门户纷繁，由浅入深，条理井然，术有异则用不同，非可比而一也。然分之为用，不如合之而用益广。如形学以图为宗，不言数而言理，直溯立法之本原，使读者展视了然，为益大矣。惟立方以上不能绘象，而形学之术穷。若代数则无问四乘、五乘以上俱可以式显之，此代数之用，所以广于形学也。以代数推形学之题，则难易不可同日而语。然苟无形学、条段之本理为之根，则亦无从布式。是故形学得代数而用益广，代数藉形学而理益明，合代数形学之术，遂有以探算学之奥，阐数理之幽，而罗密士君《代形合参》之所由作也。

这表明代数与几何相结合的重要性，指出了解析几何的根本特征。

全书分三卷共十七章，另附一卷，目录如下：

有定式形学：包括“以代数推形学、作方程图法”，即不用坐标来研究图形，属于欧氏几何。

无定式形学：包括“点之纵横线、直线、易纵横轴、圆、抛物线、椭圆、双曲线、二次方程公式、三次以上式之线、越曲线”，属于平面解析几何。

立方形学：包括“空中之点、空中之直线、空中之平面、曲面、三变数二次公式”，属于空间解析几何。

附卷：以图显格致之理。

该书介绍平面解析几何和空间解析几何中常用的基本概念、定理和有关性质。内容简明易懂，层次清晰，是初学解析几何者适用的教科书。空间解析几何内容的介绍过于简单。涉及的圆锥曲线（二次曲线）的内容与《代微积拾级》中大体相同。

关于这两部教材的英文底本，在此作一说明。在前文介绍《代微积拾级》的底本和原作者时提到过，罗密士编辑过一套数学系列教材《罗密士数学教程》，还包括《几何与圆锥曲线初步》（Elements of Geometry and Conic Sections）。按，求德生在《圆锥曲线》序中称：“本书作自美国算学家路密司，约略讲明三种曲线之理，原附于《形学备旨》之后，故题中所引诸卷，皆凭《形学备旨》云云。”这说明《形学备旨》与《圆锥曲线》的英文原本是《几何》与《圆锥曲线》合刊本，它们的英文底本应该是罗密士的《几何与圆锥曲线初步》，但具体的版次年代还有待进一步的研究，我们见到此书1858年在美国已出版到了第15 版。^[22]

前文还提及，《代微积拾级》的底本《解析几何与微积分初步》在1874年进行全面修订，内容扩充了很多，分成《解析几何初步》（Elements of Analytical Geometry）和《微积分初步》（Elements of the Differential and Integral Calculus）两书出版。《解析几何初步》的内容较之《代微积拾级》中的“解析几何”部分有很大的扩充，就我们所见的1878年修订版（Revised Edition）而言^[23]，该书包含三部分和一个附录。第一部分为“确定几何”（Determinate Geometry），共两节（Section），依次是代数在几何中的应用和代数式的几何作图。第二部分为“不确定几何”（Indeterminate Geometry），共十节，依次是点的坐标、直线、圆、抛物线、椭圆、双曲线、二次曲线的一般方程、高次曲线、超越曲线。第三部分为立体几何（Geometry of Three Dimensions），共五节，依次是空间的点、空间的直线、平面、旋转曲面、曲面的一般方程。附录为自然法则的图示法（On The Graphical Representation of Natural Laws）。立体几何和附录《代微积拾级》中没有。可以看出，《代形合参》的英文底本就是罗密士的《解析几何初步》，并不是Elements of Analytical Geometry and of the Differential and Integral Calculus （《代微积拾级》）前九卷的另译。但《解析几何初步》的版本也很复杂，具体哪一版是《代形合参》确切的底本也还有待进一步研究。

值得一提的是，罗密士编辑的教材系列（或修订本）还有多种在晚清被翻译（或改编翻译）成中文，除前面提到的三种以外，还有《代数备旨》《形学备旨》《八线备旨》《对数表》《形学拾级》《微积学》，涵盖了代数、几何、三角学、圆锥曲线、解析几何和微积分等内容，而且都比较系统，是晚清教会学校、新式学堂（校）以及书院很受欢迎的数学教材，其中《形学备旨》就有30 多个版本。可以说，罗密士的这些数学教材对晚清的数学教育有着很重要的影响。^[24]

2.圆锥曲线知识在学堂（校）的教学

19世纪90年代西式教育引入渐成规模之后，圆锥曲线成为学校的教学内容应是毋庸置疑的，略举两例以现其一斑。一些教会学校高年级的教学内容比较早地就包括了圆锥曲线知识，也比较普遍。如狄考文创办的登州文会馆（1876年）在其正斋的数下课程设置为：第一年讲授“代数备旨”，第二年讲授“形学备旨”“圆锥曲线”，第三年讲授“八线备旨”，第五年讲授“代形合参”，最后一年讲授“微积分学”。^[25]

中国自己创办的新式学堂（书院）中也讲授圆锥曲线知识，这从一些算学课艺就可以看出。^[26]现在传世的《龙城书院课艺（算学）》是华世芳主讲常州龙城书院^[27]（1896年改为致用精舍）期间（1896—1901年），选编龙城书院（致用精舍）学生的算学课艺，按年编排，共收入60 题86 草。^[28]该课艺光绪二十五（1899年）中就收录了有关二次曲线的3 道题。另外涉及利用圆锥曲线的几何性质进行解题的演草不下10 处。其中丁酉年（1897年）第9 题和第11 题选用了学生杨焱的课草，他能熟练地运用圆锥曲线的交点来确定容圆问题的圆心位置，较为详细的分析见第四章第三节。在此值得一提的是，龙城书院的毕业生沈保枢，他对曲线有独到的研究，代表著作有《曲线剩义》（1901年），这部著作可以看成是龙城书院数学教学的体现。《曲线剩义》共八卷，涉及圆锥曲线的有5 卷，依次为：

卷二，正双曲线八线图解订误；卷三，双曲线求弧背术；卷四，立双曲线求皮积术补；卷五，椭圆求周八术汇论；卷六，抛物线求面积新图。

该书的序由华世芳作于龙城书院的取斯堂。卷二是订正夏鸾翔的《致曲术》中的一些错误，沈氏在“自识”中回忆当年在龙城书院求学时“诸同学皆思别创新术以正夏书之殐”，他在此卷采用的方法是解析几何与微积分的结合，如果不考虑符号表示的因素，他的表达与运算与当今分析教材无异，详细的论述见第四章第五节。这些均可体现当时龙城书院的圆锥曲线和微积分知识的教学以及达到的水平。

到壬寅学制、癸卯学制两新学制颁布之后，圆锥曲线（解析几何）的教学有了制度上的保证，成为了高等学堂数学课的必修科目。我们将在第五章第四节给予论述。

以上是圆锥曲线知识的教学与普及阶段的大概情形。及至这个阶段，圆锥曲线知识已被中算家们熟练掌握和理解，已逐渐内化为他们的知识结构，反过来被用来解决其他数学问题，这时它们不仅表现为研究对象，而且还成为解题方法。如黄宗宪、周达等数学家运用圆锥曲线作图解决传统数学中的容圆问题和传入的阿波罗尼问题，他们还将圆锥曲线与微积分的学习联系起来，这些我们将在第四章第三节相应部分详细论述。

【注释】

[1]本节主要参考白尚恕：《圆锥曲线小史》，《数学通报》1964年第2 期。

[2]另两个问题是“化圆为方”（求作一个正方形与给定圆面积相等）和“三等分角”（将任意角三等分）。

[3]（美）莫里斯·克莱因著，张理京、张锦炎、江泽涵译：《古今数学思想》第一册，上海科学技术出版社2002年版，第54 页。

[4]（美）莫里斯·克莱因著，张理京、张锦炎、江泽涵译：《古今数学思想》第一册，上海科学技术出版社2002年版，第101-112 页。

[5]（美）维克多·J.卡兹著，李文林、邹建成、胥鸣伟等译：《数学史通论》（第2版），北京：高等教育出版社2004年版，第330 页。

[6]（美）莫里斯·克莱因著，朱学贤、申又枨、叶其孝译：《古今数学思想》第二册，上海科学技术出版社2002年版，第24 页。

[7]（美）莫里斯·克莱因著，张理京、张锦炎、江泽涵译：《古今数学思想》第二册，上海科学技术出版社2002年版，第20 页。

[8]李俨：《中算家的圆锥曲线说》，《李俨钱宝琮科学史全集》第七卷，沈阳：辽宁教育出版社1998年版，第491-514 页。

[9]牛亚华：《明末清初椭圆知识的传入及应用》，李迪主编：《数学史研究文集》第一辑，呼和浩特：内蒙古大学出版社，台北：九章出版社1990年版，第104-116 页。

[10]徐光启编纂：《崇祯历书·测量全义》，卷五，页十四，潘鼐汇编，上海古籍出版社2009年版，第1372-1373 页。

[11]韩琦：《数学的传入及其影响》，董光璧主编：《中国近现代科学技术史》，长沙：湖南教育出版社1997年版，第98 页。

[12]高红成：《〈代微积拾级〉底本年代考辨》，《中国科技史杂志》2014年第1 期，第26-31 页。

[13]徐义保：《微积分传入中国150 周年记》，丘成桐、杨乐、季理真主编：《数学与人文》第1 辑，北京：高等教育出版社2010年版，第53-64 页。

[14]Loomis，E.“Preface”，Elements of Analytical Geometry and of the Differential and Integral Calculus.New York：Harper & Brothers，1852.

[15]张奠宙：《〈代微积拾级〉的原书与原作者》，《中国科技史料》1992年第2 期，第86-90 页。

[16]张文虎著，陈大康整理：《张文虎日记》，上海书店出版社2001年版，第66 页。

[17]日本学者桥本敬造认为底本是《重学》作者惠威尔（W.Whewell）的另一部著作《圆锥曲线》（Conic Sections）。（橋本敬造ハシモトケイゾウHashimoto Keizo，《ジョン·フライヤ-「江南製造局翻訳事業記」 訳注》，関西大学社会学部纪要（Bulletin of the Faculty of Sociology Kansai University），第23 卷第2 号（1992），第1-29 页。）按，惠威尔的确编撰过《圆锥曲线》这本书，但经过对比，此书很显然不是《圆锥曲线说》的底本，估计是因为《重学》的底本作者是惠威尔，刚好他也写过《圆锥曲线》，因此被当然认为是附于《重学》后的《圆锥曲线说》的底本。

[18]较为详细的考证见拙作《李善兰与艾约瑟合译〈圆锥曲线说〉的英文底本》。

[19]李兆华主编：《中国近代数学教育史稿》，济南：山东教育出版社2005年版，第120-124 页。

[20]（美）罗密士著，狄考文选译，邹立文、刘永锡同述：《形学备旨·序》，美华书馆铅印本，光绪十一年（1885年）。

[21]（美）罗密士著，求德生选译，刘师维笔述：《圆锥曲线·求德生序》，美华书馆铅印本，光绪十九年（1893年）。

[22]Loomis，E.Elements of Geometry and Conic Sections，Fifteenth Edition.New York：Harper & Brothers，1858.

[23]Loomis，E.Elements of Analytical Geometry，Revised Edition.New York：Harper &Brothers，1878.

[24]Li，Di The Influence of Loomis’ Mathematical Works on Mathematics Education in China.The Seventh International Seminar Reports at Kiyoshi Yokochi Library （Volume V），2001，17-27.

[25]《〈文会馆志〉记齐鲁大学前身登州文会馆的创立章程等》，见朱有瓛、高时良：《中国近代学制史料》第四辑，上海：华东师范大学出版社1993年版，第458-459 页。我们认为，这个课表应该是文会馆19世纪80年代甚至更晚的课表，课表中的课名应该是教科书的书名，其中最早出版的《形学备旨》的第一版是在1885年由美华书馆出版的。在此存疑。

[26]在中国传统的教育中，考试题目的书面解答称为课艺。优秀的课艺，间有教师作的范例，称为“程作”或“拟作”。考课试卷汇刻成帙称为课集或课艺。考课是清代大多数书院采用的考试方法，有多种类别和名目，并形成从命题、考课、阅卷到公布结果、奖惩这样一整套制度。有的书院除对学生进行物质奖励外，还将刊刻优秀课艺作为一种精神奖励。参阅李兆华主编：《中国近代数学教育史稿》，第90 页。

[27]龙城书院历史悠久，始建于明朝隆庆六年（1572年），后几经人祸兵火，几度兴废。同治四年（1865年）改建为贡院，后又恢复。光绪二十二年（1896年）改为常州致用精舍，聘请数学家华世芳为山长，开设算学、舆地、时务、策论等课程。1902年，改为武阳公立两等小学堂。《龙城书院课艺》（版心作《致用精舍课艺》）选编的算题每年题数不一，程度也不尽相同。其内容主要有球面三角形、平面几何、立体几何、圆锥曲线、三角函数和不定方程等，总体水平在当时较高。参阅李兆华主编：《中国近代数学教育史稿》，第93-95 页。

[28]李兆华主编：《中国近代数学教育史稿》，济南：山东教育出版社2005年版，第93 页。