圆锥曲线知识系统地传入是伴随着西方变量数学传入中国而完成的。咸丰二年（1852年），李善兰来到上海，经麦都思的介绍与伟烈亚力相识。伟烈亚力十分钦佩李善兰的数学才能，聘请李善兰进墨海书馆共同译书。同年，伟烈亚力、李善兰合作开始翻译《几何原本》后九卷，于咸丰六年（1856年）完成。此外，他们共同翻译的数学著作有《代微积拾级》十八卷（1859年）、《代数学》十三卷（1859年）、《谈天》十八卷（1859年）。李善兰还与同在墨海书馆的艾约瑟（J.Edkins，1823—1905年）共同翻译了《圆锥曲线说》三卷，附于金陵刊本《重学》（20 卷）之后，于1866年出版。这些书籍使得微积分、符号代数学、解析几何、圆锥曲线，以及近代力学和天文学传入中国。其中，《代微积拾级》和《圆锥曲线说》介绍的解析几何和圆锥曲线知识比较完备，标志这些知识系统地传入中国。

1.《代微积拾级》中的“代数几何”（1859年）

《代微积拾级》（18 卷）是西方变量数学在中国的第一部译著，标志着微积分等高等数学知识传入中国。该书原作者是美国数学家罗密士（Elias Loomis，1811—1889年），底本是Elements of Analytical Geometry and of the Differential and Integral Calculus，New York：Harper & Brothers，2nd ed.，1852 （《解析几何与微积分初步》，第2 版，1852年）。^[12]

罗密士，1811年8月7日生于美国康尼狄格州威灵顿郡（Willington，Connecticut）的一位牧师家庭。他14 岁考入耶鲁学院（Yale College），但因身体原因推迟一年入学，1830年毕业。1836年春至1844年秋任职于俄亥俄州的西储学院，教授数学和自然哲学。1844年秋至1860年夏任职于纽约市立大学（The University of the City of New York），教授数学、力学、天文学和其他自然科学课程。1860年夏后进入耶鲁学院任自然哲学和天文学教授。他在当时的学术界是以天文和气象观测研究著称，是美国科学院、美国哲学会、美国艺术和科学学院的院士或会员，还是英国格拉斯哥哲学学会、爱尔兰皇家学院、伦敦皇家气象学院和意大利气象学院的荣誉会员或院士。^[13]

罗密士任职纽约市立大学期间编写了一套数学系列教材《罗密士数学教程》（Loomis's Course of Mathematics），《解析几何与微积分初步》是其中的一种，于1851年首次出版，1874年该书进行全面修订，内容扩充后分成Elements of Analytical Geometry （《解析几何初步》）和Elements of the Differential and Integral Calculus （《微积分初步》）两书出版。罗密士在前言中明确称该书“并非为数学家，或者有特殊数学才能或数学爱好的人，而是为一般能力的大学生”^[14]而写的微积分教材，全书通俗易懂，便于初学者学习，在当时的美国十分畅销。^[15]

《代微积拾级》卷一至卷九为“代数几何”部分，“代数几何”是当时对Analytical Geometry 的翻译，即现今的“解析几何”；卷十至卷十六为微分学（Differential Calculus）部分，最后两卷是积分学（Integral Calculus）部分。解析几何部分包含了比较全面的二次（圆锥）曲线知识，各卷的目录（内容）如下。

卷一，以代数推几何（用代数方法解几何问题）；卷二，作方程图法（作图法）；卷三，论点 论线 易纵横轴法（点与直线以及坐标轴）；卷四，论圆；卷五，论抛物线；卷六，论椭圆；卷七，论双曲线；卷八，诸曲线依代数式分类（代数曲线依方程分类）；卷九，论越曲线（超越曲线）。

其中卷五至卷七，从解析几何的角度依次介绍了抛物线、椭圆和双曲线等三种二次曲线，主要是各自的定义、方程以及由解析法得到的一些性质。具体如下：

第五卷论述抛物线。内容有抛物线的定义、直角坐标系和极坐标系内抛物线的各种方程（包括抛物线的极坐标方程）、抛物线切线方程，以及抛物线的一些性质，如：

（1）第四款：过抛物线上一点的法线平分该点的焦半径（带径）与直径（径）的夹角。

（2）第九款：从抛物线y2=2px 上一点（x，y）作y 轴垂线，截得抛物线弓形面积等于。此款是采用不严格的积分方法证明的。

另外，还给出抛物线的次切线与次法线公式。次切线指切线在x 轴上的射影，次法线指法线在x 轴上的射影。

第六卷论述椭圆。介绍椭圆的定义、椭圆的方程、椭圆切线方程和法线方程，并给出椭圆上（x，y）点的次切线长与次法线长。

关于椭圆的性质有：

（1）第四款：椭圆是将半径为a 的圆沿y 轴方向按比压缩得到的。

（2）第五款：椭圆的半径为其中心所平分。

（3）第九款：椭圆上的一点法线平分该点的两点焦半径（带径）所夹的内角，切线平分该点的两焦点半径所夹的外角。

（4）第十款：设A，B 分别是椭圆长径的两个端点，O 为其中心，P 是椭圆上的一点。PT 为切线，M 是椭圆上的任一点。若MB ∥PT，则MA ∥PO。

（5）第十三款：若两共轭直径（相属二半径）为2a′及2b′，则a2+b2=a′2+b′2。

（6）第十四款：椭圆上任一点P （径端）的焦点半径之积（距二心线之矩形）等于它对应半共轭直径（半属径）的平方（正方）。

（7）第十五款：设MM′与NN′为椭圆的两条共轭直径，则以MM′和NN′为邻边的平行四边形与椭圆相切，并且其面积等于4ab。

（8）第十六款：给出椭圆的极坐标方程。

（9）第十七款：椭圆面积为πa2 与πb2 的比例中项，即椭圆面积S=πab。

第七卷论述双曲线。关于双曲线的定义、双曲线及其共轭双曲线的方程、双曲线的切线与法线以及双曲线以下的性质：

（1）第五款：设M 为双曲线上任一点，P，Q 为双曲线在x 轴（实轴）上两顶点，MP 和MQ 与x 轴的交角分别为α，β，则tanαtanβ=-。

（2）第八款：双曲线上任一点的切线平分该点的焦半径间的内角。

（3）第九款：设A，A′为双曲线在x 轴（实轴）上的两顶点，D 为双曲线任一点，DT 为切线，AP 为弦，若PA ∥DT，则直径DD′∥PA′。

（4）第十二款：若双曲线实半轴与虚半轴为a，b，两共轭直径（相属二半径）为2a′及2b′，则a2-b2=a′2-b′2。

（5）第十三款：设MM′与NN′为双曲线的两条共轭直径，则以MM′和NN′为邻边的平行四边形与双曲线相切，并且其面积等于4ab。

（6）第十四款：给出双曲线的极坐标方程。

（7）最后四款讨论了双曲线渐近线的方程和性质。

2.《圆锥曲线说》（1866年）

《圆锥曲线说》三卷，艾约瑟口译，李善兰笔述，现在见到的最早的刊行版本是同治五年（1866年）金陵书局刊刻的《重学》的附卷。金陵书局本《重学》书名题“重学廿卷附曲线说三卷”，“曲线说”即《圆锥曲线说》。该书由张文虎复勘。《张文虎日记》中同治五年十月一日记有：“校《圆锥三曲线》样本。”第二天记有：“校《圆锥三曲线》样本。”^[16]此处《圆锥三曲线》当指《圆锥曲线说》。

《圆锥曲线说》的内容为纯数学内容，学界一般认为该书是为了解释《重学》涉及的数学内容而译。此书以综合几何的观点介绍圆锥曲线，开篇指出圆锥曲线是圆锥面与截平面的交线，截面的角度决定了圆锥曲线的种类：

圆锥任意割之，其所割之面有六种界。一，顶点；二，三角形；三，平圆；四，椭圆；五，双曲线；六，抛物线。

设圆锥的半顶角为α，截平面与圆锥的轴所成的角为θ。截平面不过顶点，当θ=时，交线是圆；当α＜θ＜时，交线是椭圆；当0＜θ＜α 时，交线是双曲线；当θ=α 时，交线是抛物线。特别的，若截平面过顶点，当α＜θ＜时，则截平面与圆锥只有一公共点，即顶点；若0≤θ＜α 时，交线即为三角形。

之后，结合图示给出了各类圆锥曲线的径轴、直径、属径（共轭直径）、通径、两心差等概念，简单介绍一些曲线函数如正弦、余弦、正矢等。

《圆锥曲线说》正文分三卷，依次介绍椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，每卷含若干款，每一款即为一个定理（theorem），定理的推论（corollary）称之为“系”。证明均采用综合几何方法。下面简要介绍各部分的内容，证明过程略去。

椭圆部分。此部分共十一款。

图1-2-3

如图1-2-3，AB 为椭圆一轴，P，P′是椭圆上任意两点，PH ⊥AB，P′H′⊥AB，则有

由此得到

由前三款可以得到椭圆基本定理（第三款一系）和椭圆面积公式（第三款二系）。

然后给出椭圆两个基本性质：b2+c2=a2（第四款），椭圆上任一点到两焦点的距离之和等于长轴（2a）（第五款）。

第六至八款主要涉及与椭圆切线相关的一些性质。

如图1-2-3，PM 为过P 的切线，交长轴延长线于M 点，O 为椭圆中心，由第一款可得

及

在图1-2-3的基础上，过A，O，B 分别作AB 的垂线交过P 的切线于点K，I，L（如图1-2-4），由第七款可得

由此得到作过P 的切线的一个简便方法：取PH 的中点G，联结AG 并延长交BL 于点L，则PL 为过P 的切线。

由第七款还可推得椭圆的切线性质，即椭圆光学性质：两焦点与切点的连线与切线的夹角相等（第九款）。

图1-2-4(www.daowen.com)

图1-2-5

第十、十一款两款为与共轭直径相关的两个性质：以两共轭直径为邻边的椭圆的外切平行四边形的面积等于4ab （第十款）；两共轭直径的平方和与长短两轴平方和相等（第十一款）。

双曲线部分。此部分共十三款，内容与椭圆诸款是平行的。

如图1-2-5，AB 为双曲线实轴，P，P′是同一支上任意两点，PH ⊥AB，P′H′⊥AB，则有

对于P 点而言有，

第四款给出：c2-b2=a2。

第五款证明：双曲线上任一点到两焦点的距离之差等于2a。

第六至八款涉及双曲线的切线的性质。

如图1-2-5，PM 为过P 的切线，交实轴线于M 点，O 为双曲线中心，由第一款可得

及

过A，O，B 分别作AB 的垂线交过P 的切线于点K，I，L，则有

第九款为双曲线切线的性质，即双曲线两焦点与切点的连线的交角被切线平分。

第十、十一款涉及双曲线的共轭直径性质：以两共轭直径为邻边的两共轭双曲线的内切平行四边形的面积等于4ab （第十款）；两共轭直径的平方差与长短两轴平方差相等（第十一款）。

第十二、十三款与双曲线的渐近线有关。

如图1-2-6，过双曲线同一支上任意两点P1，P2 作两渐近线的平行线，交点分别是M1，M2，N1，N2，则有

图1-2-6

图1-2-7

进而得到三曲边形P1M1M2P2，P1OP2，P1N1N2P2 的面积相等，即

抛物线部分。此部分共十六款。

如图1-2-7，P，P′是抛物线上任意两点，它们在对称轴上的垂足分别为H，H′，则有

设p 为通径，由第一款可得，

同时可得，顶点到通径的距离等于半通径（第三款）。如图1-2-7，F是焦点，则向径FP=OF+OH（第四款），由此可得准线的作法。

第五至十五款与切线、通弦等有关。如图1-2-8，PM 为过P 的切线交对称轴于M 点，F 为焦点，OF 为对称轴，PH ⊥轴，则MH=2OM=2OH（第五款），MH 即为《代微积拾级》中的“次切线”。由此可得

过P 作PN ⊥PM 交轴于N 点，过O 点作OK ⊥OF 交PM 于K 点，则有

图1-2-8

图1-2-9

如图1-2-9，PQ 为任一通弦，PM 为过P 的切线，R 为通弦上任一点，过R 作轴的平行线交抛物线于L 点，交PM 于N 点，则有

如图1-2-10，P1Q1，P2Q2 为平行过P 点切线的两条通弦，P1，P，Q1在轴OX 投影分别是R2，R，R1，PT ∥OX 分别交P1Q1，P2Q2于T2，T1，则有

如图1-2-11，PQ，PR 为抛物线两条共点通弦，PM 为切线，过R 点的直径交PQ 于N 点，过Q 点的直径交PR 延长线于L 点，则有

最后一款，设垂直于轴的通弦长为m，顶点到该弦的距离为n，利用不严格的积分法得到通弦与抛物线围成的曲边形的面积为

《圆锥曲线说》三卷各款结论很多与《代微积拾级》中“代数几何”相同，但全部采用综合几何的方法证明得到。

图1-2-10

图1-2-11

《圆锥曲线说》所据底本学界一直不详。近些年来，学界关于《重学》的内容、影响以及底本的研究有很大的进展，但于《圆锥曲线说》的底本问题依然付之于阙如。^[17]晚清科技译著的底本的考据确定并非易事。《圆锥曲线说》只注明译者，并没有原作者的信息，考证其底本来源有如大海捞针。借助互联网和学界朋友的帮助，我们找到了几乎能与《圆锥曲线说》一一对应的英文底本，初步的结论是：《圆锥曲线说》的英文底本是英国数学家查尔斯·赫顿（Charles Hutton，1737—1823年）的《数学教程》（A Course of Mathematics）第8 版（3 卷，1824年）、第9 版（3 卷，1828—1829年）或第10 版（3 卷，1831年）卷2 中的《圆锥曲线》（Conic Sections）。^[18]

《代微积拾级》和《圆锥曲线说》这两部书的翻译使得圆锥曲线从内容和方法上比较系统地传入中国，是晚清传入中国的西方数学中很重要的一部分，很快它们也成为中算家的研究领域，代表性的工作是夏鸾翔的《致曲术》《致曲图解》《万象一原》和李善兰的《椭圆新术》《椭圆拾遗》，本文第二至五章将依据它们所采用的数学方法不同分别予以论述。