1.解析几何的诞生

近代之初，由于生产的发展以及各种自然科学如天文学、力学、光学的发展，促进了数学的发展。圆锥曲线的作用在近代科学中得到了新的体现和发展。

德国天文学家开普勒（Kepler，1571—1630年）于1609年发现天体运行轨道是椭圆，也发现圆锥曲线的焦点及离心率，并指出抛物线还有一个在无限远处看不见的焦点。他还推测平面截圆锥于无限远时，双曲线可变为抛物线，无限大的椭圆就是圆，最锐的双曲线将退缩成一对直线，最钝的双曲线是抛物线，最锐的椭圆是抛物线，最钝的椭圆是圆，并于1604年给出三种曲线的一般拉线作图法。意大利物理学家伽利略（Galileo，1564—1642年）于1608年通过桌面滚球实验发现而且证明了：由水平方向的匀速运动和垂直下的匀加速运动复合生成的抛射体运动，其路径是一条半抛物线。他还进一步证明以任何角度发射的炮弹，其路径也为抛物线。^[5]法国学者迈多尔日（Mydorge，1585—1647年）发展了圆锥曲线在光学中的应用。

近代早期这些科学家的一些成果向几何学提出了用运动的观点来认识和处理圆锥曲线及其他几何曲线的课题。因为地球围绕太阳运转的椭圆轨道、物体斜抛运动的抛物线轨迹等这些远不是靠用平面截圆锥得到的圆锥曲线这一概念所能把握的。传统的几何学缺乏解决这些问题的有效办法，要能反映这类运动的轨迹和性质，就必须从观点到方法上变革，建立一种运动观点上的几何学。这种几何便是解析（坐标）几何，其基本方法是在引入坐标系的基础上，把由曲线所决定的两个坐标之间的关系用代数方程表示出来，通过对代数方程的研究来掌握曲线的性质。

解析几何的真正发明要归功于笛卡儿（R.Descartes，1596—1650年）和费马（P.de Fermat，1601—1665年）。

笛卡儿的解析几何以如下两个观念为基础：一是坐标观念，二是把互相关联的两个未知数的任意代数方程看成平面上的一条曲线的观念。他的坐标不仅表示点的位置，还将坐标通过“点动成线”的观点应用于曲线的方程的建立；而对于方程，笛卡儿不仅把它看成是未知数与未知数的关系式，而且更多地把它看成是两个变量之间的关系式。笛卡儿还打破了代数学的齐次原则，将不同次数的几条曲线同时表示在同一个坐标系中。这样，图形中各几何量之间的关系可以化成数与数之间的关系，从而形成代数计算与几何作图之间的平行对应关系，开辟了把代数与几何巧妙统一起来的道路。笛卡儿的这些思想发表在1637年出版的几何著作《几何学》中。该书是作为他的哲学著作《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》（一般简称《方法论》）的附录出版的。《几何学》共3 卷，卷l 讨论直线及圆的作图问题，他没有采用坐标，也没有用两轴，却用严密的文词叙述了坐标概念。卷2 讨论曲线的性质，也对帕普斯轨迹问题作了研究。卷3 讨论图解问题，详细地讨论了三次以上方程的图解问题。

就这样，笛卡儿把以往两个对立的研究对象“数”与“形”统一起来，并在数学中引入变量的概念，导致变量数学即近代数学的诞生。

1630年，费马写成《空间与平面轨迹入门》（1679年发表）。在这篇文章中费马通过建立坐标，将曲线的特征以统一的方式译成了代数语言，使得各种不同的曲线都能用代数方程表示和研究，他还具体研究了直线、圆和其他圆锥曲线的方程，注意到坐标轴可以平移和旋转，并以此化简方程。很大程度上，费马的工作是阿波罗尼奥斯工作的代数翻版，但他的工作与笛卡儿的思想殊途同归，因为发表得比笛卡儿的《几何学》晚，后人多疏忽了费马对解析几何的贡献。

解析几何把数学造成了一个双面的工具。一方面，几何概念可以用代数表示，几何的目标可以通过代数达到。另一方面，反过来，给予代数语言以几何的解释，可以直观地掌握那些语言的意义，又可以得到启发去提出新的结论。^[6]解析几何一经创造便改变了整个数学的面貌，圆锥曲线的研究方法也获得了新的突破。

2.圆锥曲线的分析研究(www.daowen.com)

最先将圆锥曲线作为二次曲线来研究的是英国数学家沃利斯（J.Wallis，1616—1703年），他在其《论圆锥曲线》（1655年）中，第一次得到圆锥曲线的方程。他为了阐明阿波罗尼奥斯的结果，将《圆锥曲线论》的几何条件翻译成代数条件，得到曲线的方程。他还将圆锥曲线定义为对应于含x 和y的二次方程的曲线，并证明这些曲线确实就是几何里的圆锥曲线。沃利斯的这本著作在很大程度上推动了解析几何思想的传播，不仅强调了代数推理的有效性，同时又有助于普及这样的思想：把圆锥曲线看成平面曲线，而不是看成圆锥与平面的交线。^[7]

1659—1661年间，笛卡儿的《几何学》第二版问世，书末附有一些注解文章。首先是拜瑙（F.de Beaune，1601—1652年）的，他逐节作了阐述，并以y2=xy+bx，y2=-2dy+bx，y2=bx-x2 表示双曲线、抛物线、椭圆；又按xy+bx+cy=df 系数讨论了17 种情形。其次是舒顿（Schooten，1615—1660年）的，他的文章中有一次、二次方程的研究，推出了坐标平移和旋转公式以及渐近线方程，也阐论了图解方程问题。此外还有胡鼎（Hudden，约1633—1704年）的注解文章等。由于这些文章的注解及介绍，了解者渐多，笛卡儿的《几何学》才得以广泛地流传起来。

18世纪，牛顿（Newton，1642—1727年）正确地运用了负坐标和横纵轴，从此改变了以前对负坐标概念不清以及使用单一轴的现象。在他所著的《光学》（1704年）中，推证了圆锥曲线的切线问题、曲率问题以及在光学中的应用等。

1705年和1707年法国出版了两部著作，一为居西尼（N.Guisnee，？—1718年）的《代数在几何中的应用》，一为洛比达（L'Hospital，1661—1704年）的《圆锥曲线解析论》。前一书可能是第一个以a，b 表示有心曲线的半轴，第一次使用直交坐标系。后一书对一般二次方程进行了讨论，曾明确地指出，若y2 系数为l，当xy 系数之半大于、等于、小于x2 的系数时，分别是三种圆锥曲线。此外，洛比达还用焦点-准线定义了圆锥曲线，并给出标准方程。

1748年，英国数学家马克劳林（Maclaurin，1698—1746年）、意大利女数学家渥尼西（M.Agnesi，1718—1799年）及彼得堡科学院院士欧拉（Euler，1707—1783年）等人的一些著作出版，使得解析几何向纵深发展，这一年可以说是解析几何学史上最辉煌的一年。

在此着重讨论欧拉的《分析引论》（1748年），他在此书中建立了直交坐标、斜交坐标及极坐标概念，给出坐标的变换公式及转轴公式。欧拉对圆锥曲线的论证十分正确，他由一般二次方程0=α+βx+γy+δx2+εxy+ζy2 着手，系统地研究了各种情形，并按参数方程与极方程论述了圆锥曲线。另一方面，由为通径之半，为顶点至焦点的距离）推出；当2d=c 时，a=∞，b=∞，则得到y2=-2cx，于是他认为抛物线得自椭圆。

《分析引论》不但对圆锥曲线论述得十分完备，对于曲面及一般曲线的研究也很全面。该书后被认为是现代意义下的“第一部解析几何学教程”。正是由于这些著作，使得圆锥曲线成为了二次曲线的特例。

可以看出，圆锥曲线进入分析学后内容发展越来越丰富，它们在解析几何和微积分的背景下获得很大的发展，逐渐成为了传播解析思想的载体和学习分析学（微积分）的必要的（一定程度上甚至是必备的）知识基础。