在稳定平衡位置附近运动是力学系统的一种非常普遍的运动类型，称为微振动。我们从最简单的情况开始研究这种运动，即系统只有一个自由度。

稳定平衡位置是指势能取极小值的位置，偏离该位置会导致产生力-dV/dq，从而使系统返回平衡位置。我们用q₀表示其相应的广义坐标值。在偏离平衡位置很小的情况下，在V（q）-V（q₀）按q-q₀展开的表达式中保留第一个非零项就足够了。一般情况下这是二阶项，即

式中，k为正数（是二阶导数V″（q）在q=q₀处的值）。今后我们从势能的最小值开始计算势能（即假设V（q₀）=0），并引入记号

x=q-q₀ （19-1）

表示偏离平衡位置的坐标。于是有

单自由度系统的动能一般可以写成为

同样地，近似函数a（q）可以用它在q=q₀处的值代替。引入记号（需要强调的是，只有当x是笛卡儿坐标时m才是质量）

a（q₀）=m （19-3）

最后可得一维振动系统的拉格朗日函数表达式如下：

相应的运动方程为

或者

这里引入了记号

线性微分方程（19-5）的两个线性无关的解为cosω₀t和sinω₀t，因此方程的通解为

x=c₁cosω₀t+c₂sinω₀t （d）

这个表达式可以写成为

x=asin（ω₀t+α） （19-7）

因为x=asin（ω₀t+α）=asinω₀tcosα+acosω₀tsinα，与式（d）比较可得任意常数a和α与常数c₁和c₂的关系：

于是，系统在稳定平衡位置附近的运动是简谐运动。式（19-7）中周期因子前面的系数a称为振幅，而余弦辐角称为振动的相位，α是相位的初始值，称为初相位，显然它依赖于初始时间的选择。物理量ω₀是振动的基本特征量，不依赖于运动的初始条件。根据式（19-6），它完全由力学系统本身的性质决定，称为系统的固有角频率。但是应该指出，这个特点与小幅振动假设相关，对于大幅振动不成立。从数学角度看，通常它与势能是坐标的二次函数有关。

微振动系统的能量为

或者，将式（19-7）代入此式得

这与振幅的平方成正比。

振动系统坐标对时间的依赖关系经常写成复数表达式的实部形式：

x=Re（Ae^iω0t） （19-10）

式中，A是复常数，写成下面形式：

A=ae^iα （19-11）

这样我们又回到式（19-7）了。常数A称为复振幅，它的模就是通常的振幅，而辐角就是初始相位。(www.daowen.com)

在数学上，指数函数运算比三角函数运算简单，因为指数函数的微分不改变形式。当我们进行线性运算时（加法、数乘、微分和积分），一般可以不写出取实部的记号，只需对最后的计算结果取实部。

习题1 试用坐标和速度的初始值x（0）=x₀和表示振幅和初始相位。

答：

习题2 工程中常遇到质点在铅垂方向的振动，这时质点还受重力作用。

解：参照图19-1a，质点的运动微分方程为

其解为

亦即质点仍作频率为ω₀的简谐振动，只是振动中心位于x=δ_st处，δ_st为弹簧的静伸长。由此可知：常力只改变振动中心的位置。引入静伸长δ_st，还可将固有角频率及周期改写为

如果将参考坐标的原点取在弹簧静伸长处，如图19-1b所示，则运动微分方程改变，但解的形式简单。其表达式为

x=asin（ω₀t+α）

图19-1 常力对质量-弹簧系统的作用

习题3 设质量为m的质点沿着直线运动，弹簧一端连在质点上，另一端固定于A点（图19-2）。A点到直线的距离为l，弹簧长度为l时受力为F，试求微振动角频率。

解：弹簧势能等于力F乘以弹簧伸长量δl（精确到更高阶小量）。当x<<l时，有

因此，V=Fx²/（2l）。因为动能为，故

图 19-2

图 19-3

习题4 同上题，质量为m的质点沿着半径为r的圆运动（图19-3）。

解：在这种情况下，弹簧伸长量为（在φ<<1时）

动能为。由此得角频率

习题5 试求图18-2的平面摆的角频率，悬挂点质量为m₁，并且可沿着水平方向运动。

解：当φ<<1时，有

由此得