例18-1 杆OA和AB以铰链相连，O端悬挂于圆柱铰链上，如图18-8所示。杆长OA=a，AB=b，杆重和铰链的摩擦都忽略不计。今在点A和B分别作用向下的铅垂力F_A和F_B，又在点B作用一水平力F。试求平衡时φ₁，φ₂与F_A，F_B，F之间的关系。

图18-8 例18-1图

已知：OA=a，AB=b，F_A，F_B，F。

求：φ₁，φ₂。

解：●建模

杆OA和AB组成的平衡系统受主动力：F_A，F_B，F。杆OA作定轴转动；杆AB作平面运动。系统的自由度f=2×3-2×2=2。现选择φ₁和φ₂为系统的两个广义坐标，计算其对应的广义力Q₁和Q₂。

方法一：

杆OA和AB的位置可由点A和B的4个坐标x_A，y_A和x_B，y_B完全确定。x_A=asinφ₁，y_A=acosφ₁，x_B=asinφ₁+bsinφ₂和y_B=acosφ₁+bcosφ₂。

●Maple程序

方法二： （k=1，2，…，N），保持φ₂不变，只有δφ₁时，对y_A，x_B和y_B变分可得一组虚位移。保持φ₁不变，只有δφ₂时，对y_A，x_B和y_B变分可得另一组虚位移。

●Maple程序

方法三： （k=1，2，…，N）。

直接由几何关系计算给出虚位移。如果保持φ₂不变，只有δφ₁时，杆AB为平行移动，A，B两点的虚位移相等，可得一组虚位移；如果保持φ₁不变，只有δφ₂时，点A不动，杆AB为定轴转动，可得另一组虚位移。

●Maple程序

答：平衡时φ₁，φ₂与F_A，F_B，F之间的关系为。

例18-2 如图18-9所示，重物A和B分别连接在细绳两端，重物A放置在粗糙的水平面上，重物B绕过定滑轮E铅垂悬挂。在动滑轮H的轴心上挂一重物C，设重物A重量为2P，重物B重量为P，不计动滑轮H的重量。试求平衡时重物C的重量P_C以及重物A与水平面间的静滑动摩擦因数。

已知：P_A=2P，P_B=P。

求：P_C，f_s。

解：●建模

平衡系统受主动力：2P，P，P_C，F_A。重物A，B，C均作直线运动。系统的自由度f=2。现选择x_A和y_B为系统的两个广义坐标，计算其对应的广义力Q_xA和Q_yB。直接由几何关系计算给出虚位移。如果保持y_B不变，只有δx_A时，可得一组虚位移；如果保持x_A不变，只有δy_B时，可得另一组虚位移。

图18-9 例18-2图

●Maple程序

答：平衡时重物C的重量P_C=2P，重物A与水平面间的静摩擦因数f_s=0.5。

图18-10 例18-3图

例18-3 图18-10所示为一倒置的摆，摆锤重量为P，摆杆长度为l。在摆杆上的点A连有一刚度系数为k的水平弹簧，摆在铅垂位置时弹簧未变形。设OA=a，摆杆重量不计，试确定摆杆的平衡位置及稳定平衡时所应满足的条件。

已知：k，l，P。

求：a。

解：●建模

倒摆平衡系统受主动力：P，F_k。杆OA作定轴转动；倒摆作定轴转动。系统的自由度f=1。选择摆角φ为系统的广义坐标，摆的铅垂位置为摆锤重力势能和弹簧弹性势能的零点，计算系统的总势能。

●Maple程序

答：摆杆的平衡位置为φ=0，稳定平衡时所应满足的条件为。

例18-4 图18-11中，两相同均质圆轮半径皆为R，质量皆为m。轮Ⅰ可绕轴O转动，轮Ⅱ绕有细绳并跨于轮Ⅰ上，当细绳直线部分为铅垂时，求轮Ⅱ中心C的加速度。

已知：m，R。

求：a。

解：●建模

用动力学普遍方程求解。

图18-11 例18-4图

整个系统受主动力和惯性力：mg，F_Ⅰ，M_Ⅰ1，M_Ⅰ2。轮Ⅰ作定轴转动；轮Ⅱ作平面运动。系统的自由度f=3×2-2-1=3。水平方向质心坐标守恒。选择轮Ⅰ、轮Ⅱ的转角φ₁，φ₂为系统的广义坐标。设轮Ⅰ，Ⅱ的角加速度分别为α₁，α₂，轮Ⅱ质心C的加速度为a。惯性力F_Ⅰ，M_Ⅰ1，M_Ⅰ2的大小分别为F_Ⅰ=ma，M_Ⅰ1=J_Oα₁，MⅠ2=J_Cα₂。(www.daowen.com)

●Maple程序

答：轮Ⅱ中心C的加速度。

例18-5 在图18-12所示的运动系统中，重物M₁的质量为m₁，可沿光滑水平面移动；摆锤M₂的质量为m₂。两个物体用无重杆连接，杆长为l。试建立此系统的运动微分方程。

已知：m₁，m₂，l。

求：建立系统运动微分方程。

图18-12 例18-5图

解法一：●建模

利用第一类拉格朗日方程。整个系统受主动力：m₁g，m₂g。重物M₁作直线运动；摆锤M₂作平面运动。系统的自由度f=3+2-2-1=2。设质点M₁的坐标为x₁，y₁，质点M₂的坐标为x₂，y₂。

注：关于第一类拉格朗日方程的概念，详见参考文献[10]。

●Maple程序

答：此系统的运动微分方程为

解法二：●建模

利用第二类拉格朗日方程。

整个系统所受的主动力均为有势力。重物M₁作直线运动；摆锤M₂作平面运动。系统的自由度f=2。选x₁和φ为广义坐标，则有y₁=0，x₂=x₁-lsinφ，y₂=lcosφ。选地面为系统的零势能位置。

●Maple程序

答：此系统的运动微分方程为

图18-13 例18-6图

例18-6 图18-13所示的系统中，轮A沿水平面纯滚动，轮心以水平弹簧连于墙上，质量为m₁的物块C以细绳跨过定滑轮B连于点A。A，B两轮皆为均质圆盘，半径为R，质量为m₂。弹簧刚度系数为k，质量不计。当弹簧较软，在细绳能始终保持张紧的条件下，求此系统的运动微分方程。

已知：m₁，m₂，k，R。

求：建立系统运动微分方程。

解：●建模

利用第二类拉格朗日方程。整个系统所受的主动力均为有势力。物块C作直线运动；圆盘A作平面运动；圆盘B作定轴转动。系统的自由度f=1。取x为广义坐标。以平衡位置为重力势能点，取弹簧原长处为弹性力零势能点。

●Maple程序

图18-14 例18-7图

答：系统的运动微分方程为。

例18-7 图18-14所示为一均质圆柱体，可绕其铅垂中心轴自由转动。圆柱表面上刻有一倾角为θ的螺旋槽。今在槽中放一小球M，自静止开始沿槽下滑，同时使圆柱体绕轴线转动。设小球质量为m₁，圆柱体的质量为m₂，半径为R，不计摩擦。求当小球下降的高度为h时，小球相对于圆柱体的速度，以及圆柱体的角速度。

已知：m₁，m₂，h，R，θ。

求：v_r，ω。

解：●建模

利用拉格朗日方程的初积分。小球和圆柱体组成的系统所受的主动力均为有势力，并具有稳定、完整、理想约束，所以是保守系统。小球M作曲线运动；均质圆柱体作定轴转动。系统的自由度f=2。取均质圆柱体的转角φ和沿螺旋槽方向的弧坐标s为广义坐标。选择小球起点为零势能点。

●Maple程序

答：当小球下降的高度为h时，小球相对于圆柱体的速度，圆柱体的角速度。