在分析实际工程问题时，采用广义坐标代替直角坐标可使未知变量明显减少。对于用广义坐标表示的完整系统，前面导出的拉格朗日方程以十分优美、简明的形式描述系统的运动。但在实际问题中可能出现以下两种情况：①非完整系统；②带有复杂几何约束的完整系统。前一种情况适用于拉格朗日方程。后一种情况由于广义坐标与多余坐标之间复杂的几何关系，以致拉格朗日方程的列写过程非常烦琐。对于这两种情况，均可以利用拉格朗日乘子对拉格朗日方程加以改造，以扩大其适用范围，或简化其列写过程。

讨论由n个质点P_i（i=1，2，…，n）组成的质点系，选择m个坐标q_j（j=1，2，…，m），以确定各质点的位置。由系统内存在r个几何约束式（17-22）和s个一阶不可积线性微分约束式（17-26），可写出统一形式的约束条件：

式中，

B_kj=b_kj，B_k0=b_k0（k=r+1，r+2，…，r+s；j=1，2，…，m）（18-40b）各坐标的等时变分δq_j（j=1，2，…，m）应满足的约束条件为(www.daowen.com)

将式（18-41）中每个方程乘以标号相同的未定乘子λ_k，叠加后与用动能表示的动力学普遍方程（18-10）相加，得到

虽然上式中的m个变分δq_j（j=1，2，…，m）中有r+s个是不独立的，但可以适当选择r+s个未定乘子λ_k（k=1，2，…，r+s）使得式（18-42）中全部δq_j的系数都等于零，从而导出以下方程组：

以上m个方程与r+s个约束条件式（18-39）联立，总共m+r+s个方程，可以确定m个坐标q_j（j=1，2，…，m）和r+s个未定乘子λ_k（k=1，2，…，r+s）。方程（18-43）为劳思（Routh，1830—1907）于1884年导出的，称为劳思方程，可看做是拉格朗日方程的扩展。方程右边含拉格朗日乘子的附加项可以理解为与q_j坐标对应的由理想约束力构成的广义力。