设质点系由n个质点P_i（i=1，2，…，n）组成。且存在r个几何约束和s个一阶不可积线性微分约束。我们可以将式（17-1）和式（17-2）写成统一的表达式为

式中，

A_ki=a_ki，A_k0=a_k0（k=r+1，r+2，…，r+s；i=1，2，…，3n）（18-34b）前r个为可积微分约束，后s个为不可积线性微分约束。各个约束加在坐标变分上的约束条件统一写作

由式（17-43）知具有理想双向约束的系统各质点必须满足动力学普遍方程，即

在3n个直角坐标变分δx_i（i=1，2，…，3n）中，由于存在r+s个约束式（18-33），只有f=3n-r-s个独立变量，至于在这3n个坐标变分中哪些是独立的，则可以任意指定。(www.daowen.com)

引入r+s个未定乘子λ_k，分别与式（18-35）中标号相同的各式相乘，然后将它们的和式与式（18-36）相加，得到

如果选择适当的r+s个未定乘子λ_k，令r+s个事先指定为不独立的坐标变分前的系数等于零，可得到r+s个方程。于是在方程（18-37）中只包含与独立坐标变分有关的f项和式。这f个坐标变分既然是独立变量，则方程（18-37）成立的充分必要条件就是各坐标变分前的系数等于零，共得到f个方程，连同已得到的r+s个方程，总共可列出f+r+s=3n个方程：

包含r+s个未定乘子的方程组（18-38）称为第一类拉格朗日方程。未定乘子λ_k（k=1，2，…，r+s）称为拉格朗日乘子。由于方程中除待定的各质点坐标x_i（i=1，2，…，3n）以外，又增加了待定的拉格朗日乘子λ_k（k=1，2，…，r+s），共有3n+r+s个未知变量，因此在具体求解时，还必须补充列出r个几何约束方程（17-1）和s个不可积线性微分约束方程（17-2），才能使方程组封闭。