如果主动力有势，设广义力Q_j由下面公式计算：

式中，势能V=V（q₁，q₂，…，q_f，t）。

拉格朗日方程（18-11）在有势力情况下写成为

令L=T-V，那么上面方程写成为

函数L称为拉格朗日函数。方程（18-21）适用于理想双向约束的完整有势系统。仅用拉格朗日函数就可以表示的动力系统称为拉格朗日系统。

利用式（18-15），拉格朗日函数是广义速度的二阶多项式，可以写成为

L=L₂+L₁+L₀ （18-22a）式中，

L₂=T₂，L₁=T₁，L0=T₀-V （18-22b）

于是列写质点系的运动微分方程归结为写出质点系的拉格朗日函数L。一般情况下，L是q_j，（j=1，2，…，f）和t的函数：

由于函数L完全确定质点系的运动规律，因此，可将拉格朗日函数称为质点系的特征函数。

L对广义坐标的偏导数

的量纲为力或力矩的量纲，称为有势力的广义力。

L对广义速度的偏导数

的量纲为动量或动量矩的量纲，称为广义动量。

试求下面在均匀重力场（重力加速度为g）中各系统的拉格朗日函数。

习题1 平面双摆（图18-1）。

图18-1 平面双摆

解：取绳l₁和l₂分别与竖直方向的夹角φ₁和φ₂为广义坐标。对质点m₁有

为了求出第二个质点的动能，我们用角φ₁和φ₂表示第二个质点的笛卡儿坐标x₂，y₂（坐标原点取在悬挂点，y轴竖直向下）：

x₂=l₁sinφ₁+l₂sinφ₂，y₂=l₁cosφ₁+l₂cosφ₂

于是有

最后得(www.daowen.com)

习题2 质量为m₂的平面摆，其悬挂点（质量为m₁）可以沿着水平直线运动（图18-2）。

图18-2 平面摆

图18-3 悬挂点作圆周运动的平面摆

解：设质点m₁的坐标为x，绳与竖直方向夹角为φ，则有

习题3 设有一平面摆，其悬挂点：

（1）沿着竖直圆以定常圆频率Ω运动（图18-3）；

（2）按规律acosΩt水平振动；

（3）按规律acosΩt竖直振动。

解：（1）质点m的坐标为

x=acosΩt+lsinφ，y=-asinΩt+lcosφ拉格朗日函数为

这里略去了仅仅依赖于时间的项，它可以写成mlaΩcos（φ-Ωt）对时间的全导数。

（2）质点m的坐标为

x=acosΩt+lsinφ，y=lcosφ拉格朗日函数（略去全导数）为

（3）类似地，可得

习题4 在图18-4所示的力学系统中，质点m₂沿着竖直轴运动，整个系统以常角速度Ω绕该轴转动。

图 18-4

解：设线段a与竖直方向夹角为θ，系统绕竖直轴转动的角度为φ，则。对于每个质点m₁的微小位移有

dl²₁=a²dθ²+a²sin²θdφ²

质点m₂到A点的距离为2acosθ，因此

dl₂=-2asinθdθ

拉格朗日函数为