罗素十一岁时，哥哥弗兰克开始教他几何学。弗兰克首先在纸上写出了五个几何公理和点、直线、圆、面等定义要求罗素记住。

“这些东西我为什么要记牢啊？”罗素稚气地问哥哥。

“因为它们都是一些不证自明的公理。”

“为什么它们就可以不证自明呢？”罗素问。

“因为这些东西根本不需要证明。”弗兰克说。

“为什么这些东西根本不需要证明呢？”

“因为这些东西是显而易见的。”弗兰克说。

“难道显而易见的东西就不需要证明吗？”罗素不解地问。

“当然。”弗兰克一面说，一面就在纸上画了两个点，然后他接着说，“你看，在这两个点之间，如果用一条直线把它们连接起来的话，只能画出一条直线。这难道还需要证明吗？你自己画一画就知道了。”弗兰克把笔递给了罗素，要他自己在纸上画一画。(www.daowen.com)

可是罗素没有从哥哥手中接过笔，他还是不明白为什么这些公理不需要证明。“我认为，这些东西，不加证明就要我毫不怀疑地接受，这是没有道理的。”

“实际上，这些东西是不能证明的。”哥哥见罗素那么倔强，有点儿不高兴，因此，他就说这些公理是根本不能证明的，想要以此来堵住罗素那张爱发问的嘴。

“不能证明？为什么不能证明啊？”

“不能证明就是不能证明，这还有什么道理啊？你如果还要纠缠这些违反常识的问题，那我就不教你了！”弗兰克显然生气了。

看到哥哥生气了，罗素为了尊重哥哥，也没有再说什么，可他还是认为：“任何命题都需要最后的证明，不管是几何学的命题，还是其他数学分支的命题，都是需要证明的。”

后来罗素在已经成型的集合论中发现了一个悖论，世称“罗素悖论”，它引起了所谓的“第三次数学危机”。罗素悖论的通俗版本叫“理发师悖论”：

萨维尔村理发师挂出了一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。”于是有人问他：“您的头发由谁理呢？”理发师无言以对。