虽然参数a 0,A 1,A 2,…,A q的估计可以得到,但是很难得到这些参数的推论,主要是由于参数具有约束a 0∈S L,A j 1Dj＝0L(j＝1,2,…,q)。为了解决这个问题,首先研究模型(4.2.7)的参数β(l)的推论。

对于给定的m(m＝0,1,…,D),考虑假设检验

检验统计量为

其中(S(l))2＝(Y(l)－/(n－D－1)是误差项方差的无偏估计,{((Z(l))T Z(l))－1}i,i代表矩阵((Z(l))T Z(l))－1的第i个对角元素。检验统计量T(l)m在原假设下服从自由度为n－D－1的学生氏t分布。

对于假设检验

不完

全等于0

检验统计量为

其中是除了截距项以外的其余估计的回归系数构成的向量,{((Z(l))T Z(l))－1}－1,－1表示矩阵((Z(l))T Z(l))－1去掉第一行第一列元素后剩余元素构成的矩阵。当原假设满足时,检验统计量F(l)服从自由度为D和n－D－1的Fisher's F分布。

通过以上过程,可以得到β(l)的估计和假设检验,其中－j＋2;j＝1,2,…,q)解释了ilr的影响。当l 0固定后,我们主要感兴趣的是检验统计量的置换不变性,具体见如下定理。

定理4.3.1　考虑回归模型(4.2.6),固定l 0

(1)当成分自变量∈{1,2,…,q})除了第一个成分外的其余成分进行置换,其余成分自变量(k≠j)的成分进行任意置换时,检验统计量(j∈{1,2,…,q})是不变的。

(2)当所有成分自变量＝1,…,q)除了第一个成分外的其余成分进行任意置换时,检验统计量是不变的。

(3)当成分自变量＝1,…,q)的成分进行任意置换时,检验统计量是不变的。

证明　不失一般性,假设l 0＝l 1＝…＝l q＝1,模型(4.2.7)可以简化为E(Y|Z)＝Zβ。当成分自变量u j(j＝1,2,…,q)的成分通过一个D j×D j的置换矩阵P j进行置换时,回归模型记为

其中Z(P)＝(1,(ilr(P 1 u 1i))T,(ilr(P 2 u 2i))T,…,(ilr(P q u qi))T)Tβ(P)是回归系数向量。通过公式(2.2.3)可得

定义一个(D＋1)×(D＋1)矩阵

根据公式(4.2.5),P是一个正交矩阵。很容易得到如下方程

其中(S(P))2表示模型(4.3.1)的误差项方差的无偏估计。(www.daowen.com)

(1)不失一般性,假设j＝1。如果成分自变量u 1除了第一个成分外的其余成分通过置换矩阵Q 1进行置换,则

如果成分自变量u k(k≠1)的成分通过任意的置换矩阵P k(k≠1)进行置换,则公式(4.3.2)中的矩阵可以表示为

将公式(4.3.5)中的置换矩阵P代入公式(4.3.3)中,得到β0＝而且

因为(S(P))2＝S 2,所以检验统计量T 0和T 1是不变的。

(2)如果每个成分自变量u j(j＝1,2,…,q)除第一个成分外的其余成分通过任意的置换矩阵Q j进行置换,类似于公式(4.3.4),公式(4.3.2)中的置换矩阵P可以表示为

根据公式(4.3.3)和公式(4.3.6),可知参数β0,βk j(j＝1,2,…,q)保持不变,而且

其中k j＝D i－D j－j＋2(j＝1,…,q)。因为(S(P))2＝S 2,所以检验统计量T 0和T k 1,T k 2,…,T k q是不变的。

(3)如果成分自变量u j(j＝1,2,…,q)的成分通过任意的置换矩阵P j进行置换,为了方便,公式(4.3.2)的置换矩阵可以记为

其中Q是一个置换矩阵。将公式(4.3.7)中的置换矩阵P代入公式(4.3.3)中,很显然检验统计量T 0是不变的。检验模型(4.3.1)中所有参数是否都等于0的检验统计量为

因此检验统计量F在成分自变量u j的成分任意置换下是不变的。

通过定理4.3.1(1),当l 0和l j固定后,在成分自变量j)的成分任意置换下,参数的推论保持不变。根据定理4.3.1(3)可知,对于任意的l j(j＝1,2,…,q),参数的推论都可以通过公式(4.2.6)中的任意一个模型获得。在回归模型(4.2.6)中,当l 0从1变到L,l j从1变到D j(j＝1,2,…,q),可以得到参数＝1,2,…,L)和＝1,2,…,D j;j＝1,2,…,q)的估计与假设检验结果。记

定理4.3.2　向量c 0与成分向量a 0有关,矩阵C j(j＝1,2,…,q)与单形上模型(4.1.1)的回归系数矩阵A j具有线性关系

证明　对于本章选用的ilr坐标,相应的对比矩阵ΨL见公式(2.2.4),则

因此

基于以上结果以及定理4.2.1和定理4.2.2,可以得到

因此,2,…,q)。

从定理4.3.2可知,矩阵A j(j＝1,2,…,q)的阶数和C j的阶数是相同的,所以矩阵A j的系数和C j的系数是一一对应的,因此可以通过参数C j的推论得到矩阵A j中系数的推论。