实数空间的几何结构对于成分数据来说是不适合的。例如,对于两个成分等价的向量,可以计算欧式距离,但它不为零,不能用来度量成分数据,因此成分数据需要一个合理的几何结构。类似于实数空间,在单形上可以定义两个运算使得它为向量空间结构。第一个为扰动运算,类似于实数空间上的加法运算;第二个为幂运算,类似于实数空间上的数乘运算[21,22]。

定义2.1.1(扰动运算)　对于任意成分数据x＝(x 1,x 2,…,x D)T,y＝(y 1,y 2,…,y D)T∈S D,x与y的扰动运算定义为

x⊕y＝C(x 1y 1,x 2 y 2,…,x Dy D)T∈S D

定义2.1.2(幂运算)　对于任意成分数据x＝(x 1,x 2,…,x D)T和常数α∈ℝ,x与α的幂运算定义为

性质2.1.3　对于x,y,z∈S D,α,β∈ℝ,向量空间(S D,⊕,⊙)满足

(1)交换性:x⊕y＝y⊕x;

(2)结合性1:(x⊕y)⊕z＝x⊕(y⊕z);

(3)结合性2:α⊙(β⊙x)＝(α·β)⊙x;

(4)分配性1:α⊙(x⊕y)＝(α⊙x)⊕(α⊙y);

(5)分配性2:(α＋β)⊙x＝(α⊙x)⊕(β⊙x);

(6)零元素:n D＝C(1,1,…,1)T;

(7)负元素:x－1＝因此x⊕x－1＝x⊖x＝n D;

(8)单位元:1⊙x＝x。(www.daowen.com)

为了得到欧几里得线性向量空间,在向量空间(S D,⊕,⊙)上需要定义内积、范数以及距离。接下来介绍成分数据单形上的Aitchison几何结构[12,13],包括Aitchison内积〈·,·〉a、Aitchison范数‖·‖a以及Aitchison距离d a(·,·),其中下标a代表Aitchison。

定义2.1.4(Aitchison内积)　对于任意成分数据x＝(x 1,x 2,…,x D)T,y＝(y 1,y 2,…,y D)T∈S D,x与y的内积定义为

其中g m(x)代表x所有成分的几何均值。

定义2.1.5(Aitchison范数)　对于任意成分数据x＝(x 1,x 2,…,x D)T,x的范数定义为

定义2.1.6(Aitchison距离)　对于任意成分数据x＝(x 1,x 2,…,x D)T,y＝(y 1,y 2,…,y D)T∈S D,x与y的距离定义为

性质2.1.7　对于x,y,z∈S D,k∈ℝ,单形上的欧几里得空间满足

(1)对称性:〈x,y〉a＝〈y,x〉a;

(2)线性性:〈x⊕y,z〉a＝〈x,z〉a＋〈y,z〉a,〈k⊙x,y〉a＝k〈x,y〉a;

(3)正定性:〈x,x〉a≥0,当且仅当x＝n D时〈x,x〉a＝0;

(4)柯西-施瓦兹不等式:|〈x,y〉a|≤‖x‖a·‖y‖a;

(5)勾股定理:如果x与y正交,即〈x,y〉a＝0,则‖x

(6)三角不等式:d a(x,y)≤d a(x,z)＋d a(y,z)。