在液体流动时，当液体微团存在着绕自身轴的旋转运动时，即ω≠0时的流动称为有涡流。和10.1节对比，如果说求解无涡流（即势流）的关键在于求出全流场流速势函数φ的分布φ（x，y，z；t），那么在有涡流中关键则是求出全流场各点的旋转角速度矢量ω（x，y，z；t），所以说有涡流可以用旋转角速度或旋涡矢量ω表示。如同速度场一样存在着涡场，同时在涡场中也有涡线、涡管、元涡及涡量等概念。

1.涡线、涡管、元涡及涡量

涡线是一条瞬时曲线，在同一瞬时，在这条曲线上所有空间点处的旋涡向量与该曲线相切。设旋涡向量ω（ωx，ωy，ωz），则涡线微分方程为：

对于非恒定流，上式中的t为参数，恒定流时则不出现t。

在涡场中通过某一闭曲线上各点的涡线所形成的管称为涡管。

横断面面积很小的涡管内的流体称为元流或者涡束。

设元涡的横断面面积为d A，液体微团的平均旋转角矢量或旋涡矢量ω（ωx，ωy，ωz），则我们将元流的横截面面积d A与2倍旋涡矢量ω的点积定义为元涡的涡量或涡管强度，对于整个涡管横断面上的涡量或涡管强度记为J，则

涡线、涡管、元涡及涡量如图10.2.2所示。

2.速度环量

在流场中取一闭曲线s，设线元向量为d s=d x i+dy j+d z k，其上速度向量为u=uxi+uyj+uzk，u在d s方向的分量为ut=|u|cosθ，如图10.2.3所示。我们将ut与d s的乘积沿闭曲线s积分定义为速度环量，即

图10.2.2

式中 θ——d s与u的夹角。

注意：速度环量是标量；速度方向与积分路径方向一致时Γ为正。一般取逆时针方向积分路径为正，即逆时针方向的速度环量为正。速度环量Γ具有瞬时性。

当流动为无涡流，即势流时：

代入式（10.2.8），得：

图10.2.3

当流速势函数φ为单值时，上面的积分为零，则得Γ为零。反之，Γ值不为零时一定是有涡流，这可由下面的斯托克斯定理证明。

3.斯托克斯定理

沿任意闭曲线s的速度环量Γ，等于以此闭曲线为边界的面积A上的涡量J，即

证明：(www.daowen.com)

取如图10.2.4所示的微小矩形边界，各角点的速度如图中所注，现计算速度环量dΓz。

同理，有

即微元环量等于微元面积上的涡量，这就是对微元面积而言的斯托克斯定理。对于有限面积A也有同样的结论。如图10.2.5所示，将A平面分成许多矩形和三角形，除面积A周边的速度环量外，内边界的速度环量在相加时都会抵消掉。对于曲面也可以依此类推，最后得：

图10.2.4

图10.2.5

斯托克斯定理将速度环量与涡量联系起来了。这样，可以通过分析速度环量来研究有涡流。其优点主要有以下两方面。

（1）根据速度环量可以较容易地推求涡量和液体微团的旋转角速度。因为速度环量是线积分，被积函数是速度本身，而涡量是面积分，被积函数是速度的偏导数，当然计算线积分要比计算面积分容易。

（2）液体微团的速度可以测量，但是，涡量和液体微团的旋转角速度不能直接测量。只有当液体微团的旋转角速度为常数时，通过计算涡量求速度环量才更显简便，见例10.2.1。

例10.2.1 已知某平面流动的速度场为其中a为常数。试求：（1）涡线方程式。

（2）沿闭曲线x 2+y 2=b2的速度环量。

解：

（1）涡线方程式

涡线方程式为：

（2）速度环量

在xOy平面上z=0，根据式（10.2.10）涡分量：

由于ωz=常数，我们应用斯托克斯定理，通过计算涡量来求速度环量，即