现在来讨论本章一开始就提出的问题，即如何设计模型及如何将模型中测得的运动要素换算到原型中去。

根据4.1节和4.2节所述，如果液流受到多种作用力的作用，理论上讲，两个液流的相似除初始条件和边界条件相似外，还应满足全流场的几何相似、运动相似和动力相似，其中动力相似式 （4.1.9），则要求模型和原型的弗劳德数Fr、雷诺数Re、韦伯数We、柯西数Ca、欧拉数Eu、斯特鲁哈数Sr等均一一对应相等。当然这是很难做到的，为此，必须选择对液流起决定影响的作用力来考虑原、模型之间的相似条件，对不同的液流，因其主要作用力不同，相似准数也相应不同。

1.重力相似

若形成液流的主要作用力是重力，例如恒定流的孔口自由出流、坝上溢流、桥墩绕流等都属于这种类型。根据式（4.2.3），这时，液流相似只要求模、原型弗劳德数相等，即Frm=Frp。这就是重力相似准则，即

由于重力加速度在各地变化很小，即gm=gp，所以上式变为：

式 （4.3.2）为重力相似情况下的流速比尺 （即原型、模型间任一对应点流速间的比例值）。同理有以下公式。

流量比尺：

时间比尺：

力的比尺：

若λρ=1 （原型、模型为同种流体），则

压强比尺：

进行模型设计时，只要模型与原型几何相似，并选择一定的线性比尺λl缩制模型，按式（4.3.3）的关系，保证通过模型的流量Qm其比尺为：

通过的流量为：

则可得到重力相似准则下的液流相似模型 （如恒定的明渠流、坝上溢流等）。由于式（4.3.2）和式（4.3.1）是等价的，都是由重力相似准则Frm=Frp导出的，所以使原模型流速符合式（4.3.2）的关系就意味着重力相似准则得到了满足。而其他时间比尺、压强比尺等则是自行满足的，采用这些比尺可以将模型试验的结果换算到原型中去。

2.黏滞力相似

如果对液流起主要影响的不是重力，而是黏性阻力，并且黏性阻力是由牛顿内摩擦公式 （1.3.7）决定时，例如水平管在有黏性阻力时的流动等，根据式 （4.2.4），这时液流相似要求原型、模型雷诺数相等，Rem=Rep，即

若原型与模型中都是同一种流体，如水 （温度也相同），因此认为μp=μm，ρp=ρm，所以按式（4.3.8）就要求：

这样，就可得到以下公式。

进行模型设计时只要模型与原型几何相似并选择一定的线性比尺λl缩制模型，并按式（4.3.10）的关系，保证流量比尺为：

通过的流量为：

则可得到黏性阻力相似准则下的液流相似模型。其他压强比尺等都是自动满足的。

若重力和黏性阻力同时是液流的主要作用力，则液流相似要求保证模型和原型的弗劳德数和雷诺数一一对应相等。在这种情况下，若模型中用的是和原型中同样的液体，则由弗劳德数相等条件，有：

由雷诺数相等条件，有：

显然，要求同时满足式（4.3.2）及式（4.3.9）的条件只有在λl=1时才有可能，即模型不能缩小，这就失去了模型试验的意义。另一个办法是改变模型中所用的液体。由式（4.3.1）及式（4.3.8）可得：

满足上式的条件是：

这就是说，实现流动相似有两个条件：①模型流动的流速应为原型流动流速的λ-0.5l倍，②必须按线性比尺λl的1.5次方来选择液体的运动黏度的比尺λν。应该强调，后一条件实现起来相当困难。另一点必须强调的是：液体黏性引起的阻力只是当雷诺数比较小时才占主要地位，当雷诺数大到一定程度时，边壁的粗糙度对液流阻力的影响是主要的。这时阻力相似不要求雷诺数相等，只要求弗劳德数相等。如果液流中还有其他作用力不能忽略时，其处理方法是类同的，这里不一一赘述了。

3.阻力平方区紊流阻力相似准则

曾论及到，如果液体黏性引起的阻力起主要作用时，为了使原型、模型水流相似，必须做到黏滞力作用相似，即要求原型、模型上雷诺数相等，所以在原型、模型都是层流情况下，必须考虑这一点。但是，对阻力平方区的紊流，液体黏性引起的阻力已微不足道，如果原型、模型都能保证在阻力平方区紊流状态下工作，则满足重力相似准则，也即原型、模型上弗劳德数相等且粗糙系数间成一比例关系就能保证原型、模型水流相似。原型、模型粗糙系数间的关系可由谢才公式导出。

由于水流中的边壁阻力Fτ可以表示为：

式中 X——边壁的湿周；(www.daowen.com)

L——边壁的长度；

τ0——边壁上的切应力，且

式中 J——水力坡度；

R——水力半径。

将式（4.3.17）代入式（4.3.16），得：

Fτ的比尺为：

又原型、模型水流相似要求牛顿数相等，即（Ne）p= （Ne）m，（Ne=F/ρL 2v 2），其比尺关系为：

将式（4.3.19）代入式（4.3.20），得：

或

式 （4.3.22）说明：在阻力相似时，原型、模型上的弗劳德数相等和水力坡度相等。相反，如果原型、模型上的弗劳德数相等和水力坡度相等，则两水流在阻力作用下相似。

在紊流阻力平方区，根据谢才公式：

其比尺为：

将式（4.3.23）代入式（4.3.22），注意到λg=1，得：

即

根据曼宁公式，谢才系数为：

其比尺为：

将式（4.3.26）代入式（4.3.24），得：

或

从上面讨论可知：为使原型、模型上水流紊流阻力相似，只要按重力相似准则设计模型，然后使其两者的谢才系数相等，或者按式（4.3.27）选择模型材料的粗糙系数即可。在管中紊流、短隧洞、明渠流动及经坝溢流的模型实验中按照紊流阻力相似准则设计模型。

例4.3.1 已知溢流坝的最大下泄流量为1000m3/s，取长度比尺λl=60的模型进行试验，试求模型中最大流量为多少？如在模型中测得坝上水头Hm为8cm，测得模型坝脚处收缩断面的流速vm为1m/s，原型情况下相应的坝上水头和收缩断面流速各为多少？

解：

为了使原模型水流相似，首先必须做到几何相似。由于溢流现象中起主要作用的是重力，其他作用力，如黏滞力和表面张力等均可忽略，故要使模型系统与原型系统保持流动相似，必须满足重力相似准则。

根据重力相似准则，流量比尺为：

则模型中的流量为：

所以收缩断面处原型流速为：

例4.3.2 有一圆管直径为20cm，输送ν=0.4cm2/s的油，流量为12L/s。假如采用20℃的水（ν=0.01003cm2/s）和空气 （ν=0.17cm2/s），在实验室中用5cm直径的圆管作模型试验，试求模型流量各为多少才满足黏滞力作用的相似？

解：

若满足黏滞力作用相似则必有Rem=Rep，即