惯性权重控制前一变化量对当前变化量的影响，如果ω较大，能够搜索以前未能达到的区域，整个算法的全局搜索能力较强；若ω较小，则前一部分的影响较小，主要是在当前解的附近搜索，局部搜索能力较强。

常见的PSO算法有自适应权重法、随机权重法和线性递减权重法等。

1.线性递减权重法

针对PSO算法容易早熟及后期容易在全局最优解附近产生振荡的现象，提出了线性递减权重法，即使惯性权重依照线性从大到小递减，其变化公式为

其中，ωmax表示惯性权重最大值；ωmin表示惯性权重最小值；t表示当前迭代步数。

2.随机权重法

随机权重法的计算步骤如下：

①随机设置各个粒子的速度和位置。

②评价每个粒子的适应度，将粒子的位置和适应值存储在粒子的个体极值pbest中，将所有pbest中最优适应值的个体位置和适应值保存在全局极值gbest中。

③更新粒子位移和速度：

④更新权重：

⑤将每个粒子的适应值与粒子的最好位置进行比较，如果相近，则将当前值作为粒子最好的位置。比较当前所有的pbest和gbest，更新gbest。

⑥当算法达到其停止条件时，则停止搜索并输出结果；否则，返回第③步继续搜索。

将实现自适应权重的优化函数命名为PSO_line，在MATLAB中编写实现以上步骤的代码如下：

例6.5　用随机权重法求解下列函数的最小值：

其中，粒子数为60，学习因子均为1.2，惯性权重取值[0.6，0.9]，迭代步数为700。

解：目标函数的MATLAB代码如下：

编写如下代码：

运行后得到结果如下：

以上结果说明，用线性递减权重的方法得到了精确的最优点。需要注意的是，惯性权重并不是对所有的问题都有效，具体问题需要具体分析最合适的方法。

3.自适应法

本部分主要介绍两种自适应修改权重的方法。

（1）根据全局最优点的距离进行调整

一些学者认为惯性权重的大小还和其距全局最优点的距离有关，并提出了不同粒子惯性权重不仅随迭代次数的增加而递减，还随距全局最优点距离的增加而递增，即权重ω根据粒子的位置不同而动态变化。目前大多采用非线性动态惯性权重系数公式，该公式如下：(www.daowen.com)

其中，f表示粒子实时的目标函数值；favg和fmin分别表示当前所有粒子的平均值和最小目标值。从上面的公式可以看出，惯性权重随着粒子目标函数值的改变而改变。当粒子目标值分散时，减小惯性权重；当粒子目标值一致时，增加惯性权重。

根据全局最优点的距离调整算法的基本步骤如下：

①随机初始化种群中各个粒子的位置和速度。

②评价每个粒子的适应度，将粒子的位置和适应值存储在粒子的个体极值pbest中，将所有pbest中最优适应值的个体位置和适应值保存在全局极值gbest中。

③更新粒子位移和速度：

④更新权重：

⑤将每个粒子的适应值与粒子的最好位置进行比较，如果相近，则将当前值作为粒子最好的位置。比较当前所有的pbest和gbest，更新gbest。

⑥当算法达到其停止条件时，则停止并输出结果；否则，返回第③步继续搜索。

（2）依据早熟收敛程度和适应值进行权重调整

根据群里的早熟收敛程度和适应值，可以确定惯性权重的变化。

设定粒子pi的适应值为fi，最优粒子适应度为fm，则粒子群的平均适应值，对优于平均适应值的粒子适应值求平均（记为），定义。

依据fi、fm、favg将群体分为3个子群，分别进行不同的自适应操作。其惯性权重的调整如下：

①如果fi优于，那么

②如果fi次于，且次于fm，则惯性权重不变。

③如果fi次于，则

其中，k1、k2为控制参数，k1用来控制ω的上限，k2主要用来控制ω＝1.5－的调节能力。

当算法停止时，如果粒子的分布分散，则Δ比较大，ω变小，此时算法局部搜索能力加强，从而使群体趋于收敛；若粒子的分布聚集，则Δ比较小，ω变大，使粒子具有较强的探查能力，从而有效地跳出局部最优。

将实现自适应权重的优化函数命名为PSO_adp，在MATLAB中编写实现以上步骤的代码如下：

例6.6　用自适应权重法求解下列函数的最小值。

其中，粒子数为40；学习因子均为1.5；惯性权重取值为[0.7，0.7]；迭代步数为200。

解：首先建立目标函数代码如下：

编写目标函数最小值计算代码如下：

运行后得到结果如下：