事故树定量分析包括顶上事件发生概率计算、概率重要度及临界重要度计算。

(1)事故树顶上事件发生概率计算

1)逐级向上推算法(该法只适用于没有重复基本事件的情况)

①当各基本事件均是独立事件时,凡是与门连接的地方,可用几个独立事件逻辑积的概率计算公式计算,即

式中　∏——数学运算符号,表示逻辑积(乘);

Q(T)——顶上事件发生概率;

qi——基本事件发生概率。

②当各基本事件均是独立事件时,凡是或门连接的地方,可用几个独立事件的逻辑和的概率计算公式计算,即

Q(T)——顶上事件发生概率;

qi——基本事件发生概率。

2)利用最小割集计算顶上事件的发生概率

在事故树的定性分析中,已叙述了最小割集的概念和计算方法。 这里仅介绍应用最小割集求解顶上事件发生概率的方法。

假定事故树有一个最小割集K,则对于各最小割集可定义函数为

式中　i——基本事件序数;

j——最小割集序数;

xi∈Kj——第i 个基本事件属于第j 个最小割集。

其他符号意义同前。

因最小割集与基本事件是用与门连接,而顶上事件T 与最小割集是用或门连接,故结构函数树为

式中　r——最小割集的个数。

其他符号意义同前。

这个结构函数φ(x)实际表示了用或门连接着r 个最小割集的事故树。

由于基本事件x1 发生的概率qi 是x1 =1 的概率,顶上事件的发生概率Q(T)是φ(x) =1的概率。 因此,如果在各最小割集中没有重复的基本事件,且各基本事件相互独立时,则顶上事件的发生概率函数可表示为

按式(4.7)就可计算出顶上事件的发生概率。

如果事故树的各最小割集中有重复事件,则式(4.7)不能成立。 这时须将式(4.7)展开,按布尔代数等幂解消去每个概率因子中的重复因子,方可计算。计算各最小割集彼此有重复事件的一般公式为

式中　j,s——最小割集的序数;

xi ∈Kj ∪Ks——第i 个基本事件xi,可属于第j 个最小割集,或属于第s 个最小割集;

3)利用最小径集计算顶上事件发生概率

用最小径集表示事故树等效图时,顶上事件与最小径集是用与门连接的,而各个最小径集与基本事件是用或门连接的,当事故树最小径集数为P,各最小径集彼此无重复事件且相互独立时,则顶上事件发生的概率Q(T)可表示为

若各最小径集彼此有重复事件,则需将式(4.9)展开,用布尔代数等幂解消去概率积中的重复因子,方可进行计算。 其计算的一般公式为

式中　j,s——最小径集序数;

P——最小径集个数;

xi ∈Pj ∪Ps——第i 个基本事件或属于第j 个最小径集或属于第s 个最小径集。

(2)概率重要度

前边介绍了基本事件结构重要度的概念,它主要是从事故树的结构上分析各基本事件的重要程度。 如果考虑各基本事件发生概率的变化会给顶上事件概率带来多大的影响,就必须研究基本事件的概率重要度。

基本事件的概率重要度是指顶上事件发生概率对该基本事件发生概率的变化率,即

式中　Ig(i)——基本事件i 的概率重要度;

Q(T)——顶上事件发生概率;

qi——基本事件i 概率。

求出各基本事件的概率重要度后,就可知道,应当降低哪个基本事件的发生概率,对降低顶上事件发生概率更有效。

由式(4.11)可知,一个基本事件的概率重要度的大小不取决于它本身概率的大小,而取决于它所在最小割集中其他基本事件概率的大小。

(3)临界重要度

结构重要度是从事故树图的结构来分析基本事件的重要性,并不能全面地说明各基本事件的危险重要程度。 而概率重要度是反映各基本事件概率的增减对顶上事件发生概率影响的敏感度。 临界重要度是从概率和结构双重角度来衡量各基本事件重要性的一个评价标准。

临界重要度也称危险重要度,是基本事件发生概率的变化率与顶上事件发生概率的变化率的比,来确定基本事件的重要程度,可表示为

式中　Ic(i)——第i 个基本事件的临界重要度;

Ig(i)——第i 个基本事件的概率重要度;

qi——第i 个基本事件的发生概率;

Q(T)——顶上事件的发生概率。

【例4.1】　设某事故树最小径集为P1 ={x1},P2 ={x2,x3},P3 ={x4}。 若各基本事件发生概率分别为：q1 =0.1,q2 =0.02,q3 =0.02,q4 =0.3。

试求：

①顶上事件发生概率;

②各基本事件的概率重要度;

③各基本事件的临界重要度。

解　①由已知条件可得知其结构函数式为

T = x1·(x2 + x3)·x4

其顶上事件发生概率函数式为(www.daowen.com)

Q(T) = q1[1 - (1 - q2)(1 - q3)]q4

则顶上事件发生概率为

Q(T) = [0.1(1 - (1 -0.02)(1 -0.02))] ×0.3

= 1.188 ×10-3

②基本事件的概率重要度为

同理可得

Ig(2) = 0.029 4

Ig(3) = 0.029 4

Ig(4) = 0.003 96

③各基本事件临界重要度为

故

(4)事故树的模块分割

所谓模块,是指至少包含两个基本事件的集合。 这些事件向上可到达同一逻辑门(称为模块的输出或模块的顶点),且必须通过此门才能到达顶事件。 模块没有来自其余部分的输入,也没有与其余部分重复的事件。 事故树的模块可从整个事故树中分割出来,单独地计算最小割集和事故概率。 这些模块的最小割集是众多基本事件最小割集的分组代表。在原事故树中,可用一个“准基本事件”代替分割出来的模块,“准基本事件”的概率为这个模块的概率。 这样经过模块分解后,其规模比原事故树小,从而减少了计算量,提高了分析效率。

简而言之,模块分割就是将一复杂完整的事故树分割成数个模块和基本事件的组合,这些模块中所含的基本事件不会在其他模块中重复出现,也不会在分割后剩余的基本事件中出现。 若分离出的模块仍然较复杂,则可对模块重复上述模块分割步骤。 一般来说,没有重复事件的事故树可任意分解模块以减少规模,简化计算。 当存在重复事件时可采用分割顶点的方法,最有效的方法是进行事故树的早期不交化。

【任务实施】

(1)任务准备

课件,案例,多媒体教学设备。

(2)任务实施

应用4.4　以普通车床人员伤害事故中车床绞长发事故为例,依据下面的分析绘制事故树。

分析：车床绞长发事故的发生与车床旋转和工作人员长发落下有关,并且事故是否发生还与落下的长发是否与车床的旋转部位接触有关。 长发落下的原因是工作人员留有长发和长发未在帽子内。

应用4.5　依据下面吊装物坠落事故的分析画出事故树。

分析：吊装物坠落的主要原因是：钢丝绳断脱、钩头冲顶、超载;钢丝绳断脱：钢丝绳强度下降以及未及时发现;钢丝绳强度下降：钢丝绳质量不良、磨损腐蚀超标、钢丝绳变形严重;钢丝绳强度下降未及时发现：日常检查不及时、未定期对钢丝绳进行检查;钩头冲顶：操作工操作失误、起重机防过卷保护装置失灵;超载：起吊重物超重、无超载限制器。

应用4.6　依据脚手架坠落死亡事故的分析画事故树。

分析：从脚手架上坠落死亡的原因是人员不慎坠落且安全带未起作用,同时与坠落高度和地面状况有关;不慎坠落的原因是人员滑倒或身体失去平衡且重心超出护栏;安全带未起作用的原因是安全带机械性破坏和人员没有戴安全带引起;进一步分析,人员没有戴安全带的原因是人员忘记戴或因走动而取下引起;机械性破坏的原因是因安全带损坏或支承物破坏引起的。

应用4.7　请写出如图4.22 所示的复杂结构函数。

图4.22　复杂事故树

应用4.8　化简如图4.23 所示的事故树,并作出等效事故树。

图4.23　某事故树

应用4.9　如图4.24 所示为某系统的事故树,求其最小割集,画出成功树,并求最小径集。

图4.24　某事故树

应用4.10　画出如图4.25 所示事故树的等效事故树、成功树,并求顶上事件发生的概率(q1 =q2 =q3 =0.01)、各事件结构重要度、概率重要度及临界重要度。

图4.25　某事故树示意图