事故树定性分析是根据事故树求取其最小割集或最小径集,确定顶事件发生的事故模式、原因及其对顶事件的影响程度,为经济、有效地采取预防对策和控制措施,防止同类事故发生提供科学依据。

(1)布尔代数规则

布尔代数用于集的运算,与普通代数运算法则不同。 它可用于事故树分析,布尔代数可帮助我们将事件表达为另一些基本事件的组合。 将系统失效表达为基本元件失效的组合。演算这些方程即可求出导致系统失效的元件失效组合(即最小割集),进而根据元件失效概率,计算出系统失效的概率。

布尔代数规则如下(X,Y 代表两个集合)：

1)交换律

X·Y = Y·X

X + Y = Y + X

2)结合律

X·(Y·Z) = (X·Y)·Z

X + (Y + Z) = (X + Y) + Z

3)分配律

X·(Y + Z) = X·Y + X·Z

X + (Y·Z) = (X + Y)·(X + Z)

4)吸收律

X·(X + Y) = X

X + (X·Y) = X

5)互补律

X + X′ = 1

X·X′ = ∅(∅表示空集)

6)幂等律

X·X = X

X + X = X

7)狄·摩根定律

(X·Y)′ = X′ + Y′

(X + Y)′ = X′·Y′

8)对合律

(X′)′ = X

9)重叠律

X + X′Y = X + Y = Y + Y′X

(2)事故树的数学描述

假定系统由n 个单元组成,且下列二值变量xi 对应于各单元的状态为

同样,系统的状态变量用y 表示,则

y 取决于单元状态(x),因此,y 是(x)的函数,记为

yi = Φ(x),或yi = Φ(x1,x2,…,xn)

Φ(x)称为系统的结构函数,这种函数表达式用布尔代数进行表示。

(3)简单系统的结构函数

①如图4.13 所示,写出与门的结构函数表达式,即

②如图4.14 所示,写出或门的结构函数表达式,即

图4.13　与门事故树

图4.14　或门事故树

依据上述计算,请写出如图4.15 所示的结构函数表达式,即

图4.15　切屑割手事故树

x1—无断屑装置;x2—刀具角度不合理;x3—无消屑工具;x4—未用清屑工具;x5—躲避不及;x6—车屑甩出;x7—车头旋转

(4)利用布尔代数化简事故树

利用布尔代数可对事故树进行化简,特别是在事故树的不同部位存在有相同的基本事件时,必须用布尔代数进行整理化简,然后才能进行定性、定量分析,否则就可能造成分析错误。

如图4.16 所示为事故树示意图。 设顶上事件为T,中间事件为Mi,基本事件为x1,x2,x3。若其发生概率均为0.1,即q1 =q2 =q3 =0.1,求顶上事件的发生概率。

图4.16　事故树示意图

根据事故树的逻辑关系,可写出结构式为

T = M1M2

= (x1 + x2)x1x3

按独立事件的概率和与积的计算公式,顶上事件的发生概率为

Q1 = [1 - (1 - q1)(1 - q2)]q1q3

= [1 - (1 -0.1)(1 -0.1)]0.1 ×0.1

= 0.001 9

上例中,基本事件x1 有重复,需要利用布尔代数对上述结构式进行整理、化简,则

T = (x1 + x2)x1x3

= (x1x3x1 + x1x3x2)

= x1x3 + x1x2x3

= x1x3

故其顶上事件发生的正确概率为

Q = q1q3 = 0.01

(5)等效事故树

将事故树化简后按照化简表达式画出的事故树,称为事故树的等效事故树。

如图4.17 所示,可将图4.17(a)的事故树画为图4.17(b)的等效事故树。

(6)最小割集

割集是导致顶上事件发生的基本事件的集合。 最小割集就是引起顶上事件发生必需的最低限度的割集。 最小割集的求取方法有行列式法、布尔代数法等。 现在,已有计算机软件求取最小割集和最小径集。 下面简要介绍布尔代数化简法。

图4.17　事故树及其等效事故树

布尔代数化简法也称逻辑化简法,其方法是根据布尔代数运算及化简法则来进行。 实践表明,事故树经过化简得到若干交集的并集,每个交集就是一个最小割集。

如图4.18 所示,求事故树的最小割集。

图4.18　事故树示意图

T = A1 + A2

= x1x2 A3 + x4 A4= x1x2(x1 + x3) + x4(x5 + x6)= x1x2 x1 + x1x2 x3 + x4x5 + x4x6= x1x2 + x4x5 + x4x6

所以最小割集为{x1,x2},{x4,x5},{x4,x6}。 结果得到3 个交集的并集,这3 个交集就是3 个最小割集E1 ={x1,x2},E2 ={x4,x5},E3 ={x4,x6}。 用最小割集表示事故树的等效图,如图4.19 所示。

图4.19　等效事故树

(7)最小径集及其求法

如果事故树中某些基本事件不发生,则顶上事件就不发生,这些基本事件的集合称为径集。

最小径集就是顶上事件不发生所需的最低限度的径集。

最小径集的求法是利用它与最小割集的对偶性。 首先作出与事故树对偶的成功树,即把原来事故树的与门换成或门,而或门换成与门,各类事件发生换成不发生,利用上述方法求出成功树的最小割集,再转化为事故树的最小径集。

例如,将上例中事故树变为成功树,用T′, A′1, A′2, A′3, A′4,x′1,x′2,x′3,x′4,x′5,x′6表示事件T,A1,A2,A3,A4,x1,x2,x3,x4,x5,x6 的补事件,即成功事件;逻辑门作相应转换。用布尔代数化简法求成功树的最小割集

成功树的最小割集

即事故树的最小径集

(8)最小割集和最小径集在事故树分析中的应用

①最小割集表示系统的危险性。

求出最小割集可掌握事故发生的各种可能,了解系统的危险性。

每个最小割集都是顶上事件发生的一种可能,有几个最小割集,顶上事件的发生就有几种可能,最小割集越多,系统越危险。

从最小割集能直观、概略地看出,哪些事件发生最危险,哪些稍次,哪些可忽略,以及如何采取措施,使事故发生概率下降。

例如,共有3 个最小割集{x1},{x2,x3},{x4,x5,x6,x7,x8},如果各基本事件的发生概率都近似相等,一般来说,一个事件的割集比两个事件的割集容易发生,5 个事件组成割集发生的概率更小,完全可忽略。

因此,为了提高系统的安全性,可采取技术、管理措施,以便使较少事件的割集增加基本事件。

以上述3 个最小割集的事故树为例。 可给一事件割集{x1}增加一个基本事件x9,如安装防护装置或采取隔离措施等,使新的割集为{x1,x9}。 这样,就能使整个系统的安全性提高若干倍,甚至几百倍。 若不从少事件割集入手,采取的措施收效不大。

假设上述例中各事件概率都等于0.01,即q1 = q2 =q3 =q4 =q5 =q6 =q7 =q8 =q9 =0.01。在未增加x9 以前顶上事件发生的概率约为0.010 1,而增加x9 后概率近似为0.000 2,使系统安全性提高了50 倍。 在可靠性设计中常用冗长技术就是这个道理。 注意,以上是各事件概率相等时采取的措施。 采取防灾措施必须考虑概率因素,若x1 的发生概率极小,就不必考虑{x1}了。

②最小径集表示系统的安全性。

求出最小径集可了解到,要使顶上事件不发生有几种可能的方案,从而为控制事故提供依据。

一个最小径集中的基本事件都不发生,就可使顶上事件不发生。 事故树中最小径集越多,系统就越安全。

从用最小径集表示的事故树等效图可以看出,只要控制一个最小径集不发生,顶上事件就不发生,所以可选择控制事故的最佳方案。 一般来说,对少事件最小径集加以控制较为有利。

③利用最小割集、最小径集进行结构重要度分析。

④利用最小割集、最小径集进行定量分析和计算顶上事件的概率等。

(9)结构重要度概念

结构重要度分析就是不考虑基本事件的概率是多少,仅从事故树结构上分析各基本事件的发生对顶上事件的影响程度。

事故树是由众多基本事件构成的,这些基本事件对顶上事件均产生影响,但影响程度是不同的,在制订安全防范措施时必须有个先后顺序,轻重缓急,以便使系统达到经济、有效、安全的目的。 结构重要度分析虽然是一种定性分析方法,但在目前缺乏定量分析数据的情况下,这种分析显得很重要。

结构重要度分析方法归纳起来有两种：一种是计算出各基本事件的结构重要系数,将系数由大到小排列得各基本事件的重要顺序;另一种是用最小割集和最小径集近似判断各基本事件的结构重要系数的大小,并排列顺序。

1)结构重要系数求取

下面介绍结构重要系数的求取方法。 假设某事故树有几个基本事件,每个基本事件x 的状态都有两种：

已知顶上事件是基本事件的状态函数,顶上事件的状态用φ 表示,即φ(x) =φ(x1,x2,x3,…,xn),则φ(x)也有两种状态,即发生或不发生。 φ(x)称为事故树的结构函数。

在其他基本事件状态都不变的情况下,基本事件xi 的状态从0 变到1,顶上事件的状态变化有以下3 种情况：

①由φ(0i,x) =0→φ(1i,x) =0,则有φ(1i,x) -φ(0i,x) =0,即不管基本事件是否发生,顶上事件都不发生。

②由φ(0i,x) =0→φ(1i,x) =1,则有φ(1i,x) -φ(0i,x) =1,即顶上事件状态随基本事件状态的变化而变化。(www.daowen.com)

③由φ(0i,x) =1→φ(1i,x) =1,则有φ(1i,x) -φ(0i,x) =0,即不管基本事件是否发生,顶上事件也都不发生。

上述3 种情况,只有第二种情况是基本事件xi 发生,顶上事件也发生。 这说明xi 事件对事故发生起着重要作用,这种情况越多,xi 的重要性就越大。

对由n 个基本事件构成的事故树,n 个基本事件两种状态的组合数为2n 个。 把其中一个事件xi 作为变化对象(从0 变到1),其他基本事件的状态保持不变的对照组共有2n-1个。 在这些对照组中属于第二种情况[φ(1i,x) -φ(0i,x) =1]所占的比例即是xi 事件的结构重要系数,用Iφ(i)表示,则可求得

求如图4.20 所示事故树的结构重要度。

图4.20 事故树有5 个基本事件,按照二进制列出所有基本事件两种状态的组合数,共有25 =32 个,这些组合列于表4.1。 为便于对照,将32 组分左右两部分各占16 组,然后根据事故树图或最小割集确定φ(0i,x)和φ(1i,x)的值,以0 和1 两种状态表示。

由表可见,x1 在左半部的状态值都为0,右半部都为1,右半部和左半部对应找出φ(1i,x) -φ(0i,x) =1 的组合,共有7 个。 因此,基本事件x1 的结构重要度系数为

图4.20　事故树

表4.1　基本事件状态值与顶上事件状态值

基本事件x2 在表4.1 中左右两侧,其状态值都分成上下两部分,每部分8 组,在同一侧上下部分对照找出φ(12,x) -φ(02,x) =1 的组合,只有1 个,故有

同理,可得出

按各基本事件I(1)值的大小排列起来,其结果为

用计算基本事件结构重要系数的方法进行结构重要度分析,其结果较为精确,但很烦琐。特别是当事故树比较庞大、基本事件个数比较多时,要排列为2n 个组合是很困难的,有时即使是使用计算机也难以进行。

2)结构重要度分析

结构重要度分析的另一种方法是用最小割集或最小径集近似判断各基本事件的结构重要系数。 这种方法的精确度虽然比采用求结构重要系数法要差一些,但操作简便,故应用较多。 用最小割集或最小径集近似判断结构重要系数的方法也有几种,这里只做简要介绍。

①单事件最小割(径)集中基本事件结构重要系数最大。例如,某事故树有3 个最小径集

第一个最小径集只含一个基本事件x1,按此原则X1 的结构重要系数最大,即

②仅出现在同一个最小割(径)集中的所有基本事件结构重要系数相等。

例如,上述事故树x2,x3 只出现在第二个最小径集,在其他最小径集中都未出现,所以Iφ(2) =Iφ(3),同理有Iφ(4) =Iφ(5) =Iφ(6)。

③仅出现在基本事件个数相等的若干个最小割(径)集中的各基本事件结构重要系数依出现次数而定,即出现次数少,其结构重要系数小;出现次数多,其结构重要系数大;出现次数相等,其结构重要系数相等。

例如,某事故树有3 个最小割集

此事故树有5 个基本事件,都出现在含有3 个基本事件的最小割集中。 x1 出现3 次,x3,x4 出现2 次,x2,x5 只出现1 次,按此原则

④两个基本事件出现在基本事件个数不等的若干个最小割(径)集中,其结构重要系数依下列情况而定：

a.若它们在各最小割(径)集中重复出现的次数相等,则在少数事件最小割(径)集中出现的基本事件结构重要系数大。

例如,某事故树有4 个最小割集

x1,x2 2 个基本事件都出现2 次,但x1 所在的2 个最小割集都含有2 个基本事件,而x2 所在的2 个最小割集都含有3 个基本事件,故Iφ(1) ＞Iφ(2)。

b.若它们在少事件最小割(径)集中出现次数少,在多事件最小割(径)集中出现次数多,以及其他更为复杂的情况,可近似地计算为

式中　I(i)——基本事件xi 结构重要系数的近似判别值,Iφ(i)大,则I(i)也大;

xi∈Kj——其中事件xi 属于Kj 最小割(径)集;

nj——基本事件xi 所在最小割(径)集中包含基本事件的个数。

假设某事件树共有5 个最小径集

基本事件x1 与x2 比较,x1 出现2 次,但所在的2 个最小径集都含有2 个基本事件;x2 出现3 次,所在的3 个最小径集都含有3 个基本事件,根据这个原则判断

由此可知,Iφ(1) ＞Iφ(2)。

利用上述4 条原则判断基本事件结构重要系数大小时,必须从第一条至第四条按顺序进行,不能单纯使用近似判别式,否则会得到错误的结果。

用最小割集或最小径集判断基本事件结构重要顺序其结果应该是一样的,选用哪一种要视具体情况而定。 一般来说,最小割集和最小径集哪一种数量少就选哪一种,这样对包含的基本事件容易比较。 例如,某事故树含4 个最小割集

K1 = {x1,x3},　K2 = {x1,x5},　K3 = {x3,x4},　K4 = {x2,x4,x5}

3 个最小径集

P1 = {x1,x4},P2 = {x1,x2,x3},P3 = {x3,x5}

显然用最小径集比较各基本事件的结构重要顺序比用最小割集方便。

根据以上4 条原则判断,x1,x3 都各出现2 次,且2 次所在的最小径集中基本事件个数相等,故Iφ(1) =Iφ(3);x2,x4,x5 都各出现1 次,但x2 所在的最小径集中基本事件个数比x4,x5所在最小径集的基本事件个数多,故Iφ(4) = Iφ(5) ＞Iφ(2)。 由此得各基本事件的结构重要顺序为

Iφ(1) = Iφ(3) ＞Iφ(4) = Iφ(5) ＞Iφ(2)

在这个例子中,近似判断法与精确计算各基本事件结构重要系数方法的结果是相同的。分析结果说明,仅从事故树结构来看,基本事件x1 和x3 对顶上事件发生影响最大,其次是x4和x5,x2 对顶上事件影响最小。 据此,在制订对策时,首先要控制住x1 和x3 这两个危险因素,其次是x4 和x5,对x2 要根据情况而定。

基本事件的结构重要顺序排出后,也可作为制订安全检查表,找出日常管理和重点控制的依据。

(10)事故树定性分析综合案例

1)事故树建立

机械伤害事故是安全生产事故中比较常见的事故之一。 现建立机械伤害事故树如图4.21所示。

图4.21　机械伤害事故树

2)事故树的最小割集

得到36 个最小割集,分别为

机械伤害的基本事件组合见表4.2。

表4.2　机械伤害事故树最小割集事件组合表

续表

3)结构重要度

经计算得机械伤害各基本事件的结构重要度排序为

Iφ(1) = Iφ(2) = Iφ(3) = Iφ(8) = Iφ(9) = Iφ(10) ＞Iφ(4) = Iφ(5) = Iφ(6) = Iφ(7)

4)机械伤害事故树最小径集

由计算得出机械伤害的3 个最小径集,分别为

最小径集事件组合见表4.3。

表4.3　机械伤害事故树最小径集事件组合表

5)机械伤害事故树结果分析

由事故树可以看出,生产过程中所造成的机械伤害主要是由人的不安全行为和设备本身的不安全因素构成。 经对事故树分析,防止机械伤害的措施可分为以下3 类：

①要加强操作人员的安全管理,如建立健全安全操作规程和规章制度,抓好新员工三级安全教育和技能培训,以及考核正确穿戴个人劳动保护用品等。

②要注重机械设备的基本安全要求,如机械设备要合理布局,选用本质安全程度高的设备,以及加强对危险部件的安全防护等。

③要重视作业环境的改善,如照明要适宜,以及噪声和振动要小等。