［题］当两个数的和一定时，这两个数分别为多少，得到的乘积是最大的？

［解］设这两个数的和为a，这两个数分别可以表示为：

这两个表达式的和为a。这两个数的乘积可以表示为：

从表达式来看，x的值越小，它们的乘积也就越大，此时这两个数的差就越小。我们很容易就能看出来，当x=0，也就是两个数都是时，它们的乘积最大。

由此可见，要使总和不变的两个数相乘时所得的乘积最大，需要使它们均分。

如果是三个数呢？下面我们来讨论一下三个数的情况。

［题］我们进一步的讨论，当三个数的和一定时，这三个数分别为多少能使它们的乘积是最大的？

［解］参考上题的解法，我们来解一下这道题。

把a分成每一部分都不等于的三部分。在这三个数中一定有一部分大于，设为+x。

同样，这三个数中也一定有一部分小于，设为-y。

因为x和y都是正数，所以第三部分应当等于：

与-y+x的和等于前两部分（+x，-y）的和，它们的差为x-y，小于前两部分的差x+y。从上题所得的结论可知（-y+x）的值要大于前两部分的乘积。

如果把前两部分+x和-y分别用和-y+x代替，第三部分的值不变，那么它们的乘积就增加了。

现在我们设其中的一个数为，其他两个数分别为：

如果+z和-z的值相等（它们的和是一定的），那么后两个数的乘积会变得更大，也就是三个数的乘积变得更大：(www.daowen.com)

当a被分成互不相等的三份时，它们的乘积肯定小于。因此，我们可以得出，当a被均分为三等份时，得到的乘积最大。

我们可以用同样的方法证明，这个定理对于四个、五个乃至无限多个乘数都是成立的。

现在我们来将这个问题普遍化：

［题］如果x+y=a，当x和y分别取什么值的时候，xpyq的值是最大的？

［解］题目要求的是：当x为何值时，表达式xp（a-x）q的值最大。

首先，我们将xp（a-x）q乘以，得：

当这个式子为最大值时，原式才能是最大值。

上式可写为：

对于这个表达式来说，所有乘数的总和等于

就是说，它们的总和是常数。。

根据前面的结论，我们可知，当各个乘数都相等时，也就是时，乘积达到最大值。

因为a-x=y，代入上式，可得：

也就是说，当x+y的总和一定时，xpyq的值在x∶y=p∶q时最大。

用同样的方法也可以证明，当x+y+z，x+y+z+t等的总和保持不变，只有当x∶y∶z=p∶q∶r，x∶y∶z∶t=p∶q∶r∶u时，xpyqzr和xpyqzrtu等才能达到最大值。