在前文我们已经知道了，一个正多边形地块，在周长相等的情况下，边数越多，面积也就越大。而同等周长时，面积最大的图形一定是圆形。假如帕科姆能够跑出圆形，那么当他奔跑40俄里，他将能得到平方俄里的土地。

对这个结论，你也许将信将疑，真的是在相同周长的情况下，没有任何一种图形——无论是直线图形还是曲线图形，都不可能比圆圈出更大的面积吗？我们用数学知识来论证一下。

我们想要证明的是，周长一定时，面积最大的图形是圆形。首先，我们要确定这最大面积的图形应该是凸边的，或者这样表述，它所有的弦都完全是在这个图形的内部。假设图形AaBC，如图67所示，它有一条弦AB在这个图形之外。把a弧用与之相对称的b弧代替，此时图形AbBC的周长和图形AaBC的周长是完全相等的，但此时，面积明显变大了。

图67　周长相等、具有最大面积的图形必是凸边的

因此，如图形AaBC这类的图形，绝对不可能是周长相等的情况下面积最大的图形。于是，具有最大面积的图形必是凸边的。我们接下来再来证明另外一个特性，凡是将这样图形的周长一分为二的任何一条弦，也会将图形面积一分为二。

图68　假如一条弦把一个具有最大面积的凸边图形的周长分成二等分，那么这弦也必然把面积分成二等分

如图68所示，假设图形AMBN是所要找的最大面积的图形，而且弦MN刚好将它的周长分为两等分。接下来，让我们证明AMN和MBN这两个图形的面积相等。

假设这两个图形不是一样大的，比如说AMN＞MBN，那么把AMN沿MN线对折，作出图形MA'N，这样我们就得到图形AMA'N，这个面积肯定是大于原来的图形AMBN的，但是它们的周长是相等的。这也说明，在图形AMBN中的弦虽然将周长平分了，但是这两部分的面积并不相等，这并不是我们要寻找的图形。

在进行下面的证明之前，我们需要另外一个定理的支持：在所有两条边长已定的三角形中，面积最大的三角形是这两条已知边的夹角等于直角的三角形。

为了证明这点，把已知两边a和b以及这两边的夹角C的三角形面积S的公式写出：(www.daowen.com)

在a和b的数值已经固定的情况下，只有当sinC有最大值时，S的值也是最大的。当sinC为最大数值1时，C是直角。

现在，我们回到之前需要我们证明的问题中，即周长一定时，面积最大的图形是圆形。

如图69所示，假设存在一个非圆形的曲线图形MANBM，在周长相等的情况下，它有最大面积。在这个非圆形的图形上，画出一个弦MN将图形的周长分为二等分，现在，把图形MKN沿着MN折起来，折到和原来图形对称的位置MK'N，所得到的图形MNK'M应该和原有图形MKNM有相同的周长和面积。

图69　这是一个非圆形的图形；假定它有最大面积

图70　证明：在周长相等情形下，最大面积的图形是圆形

因为弧MKN不是一个半圆周，所以在这段弧上与弦MN不成直角的点一定是存在的。假设K点就是这样的一个点，K'就是和它对称的另外一点，而且角K和K'都不是直角。保证MK、KN、MK'、NK'的长度不变，移动位置，使得它们之间的夹角K和K'成为直角，这就得到了两个直角三角形，并且是全等的。如图70所示，将这两个全等的直角三角形弦对准弦的合并起来，得到图形M'KN'K'M'，这个图形的周长和原来图形的周长是相等的。因为直角三角形M'KN'和M'K'要比非直角三角形MKN和MK'N大，所以图形M'KN'K'M'的面积是要大一些的。

由此可见，任何周长相等的非圆形的图形是不可能有最大面积的。在周长一定的情况下，我们无法画出比圆形面积更大的图形。

从这些论证中可以得知，在周长一定的情况下，在各种形状的图形中，圆形具有最大的面积。而且我们不难证明，在面积相等的各种图形中，周长最短的是圆形。你可以试着自己证明一下，一定难不倒你。