小时候，发生在我身上的一件事情一直令我记忆犹新：一个秃顶的守林人站在一株大树旁边，用一个小小的仪器测量大树的高度。我以为他要爬到树顶上，然后用尺子测量大树的高度，结果老头并没有这样做，他用那个小工具对着大树瞄了一下，然后旁人告诉我，测量已经结束了，而我以为还没有开始呢。

那个时候我还年幼，我觉得这种既不需要把大树砍倒，也不需要爬到树顶上去测量高度的方法非常神奇，就像魔术一样。这个疑问一直萦绕在我心中，直到后来，我上学学习到了数学知识，才知道这个魔术的原理竟然如此简单，而且有各种各样的计算方法。

最简单最古老的方法当属公元前六世纪古希腊人泰勒斯利用阴影来测量金字塔高度的方法。法老、祭祀和人们聚集在一起，迫切地想要看到这个希腊人如何测量他们雄伟的金字塔的高度。

传说公元前六百年的激动人心的那个时刻，泰勒斯在太阳底下的影子和他人的高度正好相等。泰勒斯通过测量阴影的长度得到了金字塔的高度。

也许我们今天学过几何的孩子们都觉得这个问题很容易解答，但是不要忘记，在那个年代，泰勒斯的举动被埃及人认为是惊为天人的。泰勒斯用三角形的特性解决了测量金字塔高度的问题，而在他之后的三百年，也就是公元前300年，希腊数学家欧几里得发现了三角形的其他特性，并将其结集成书。在他死后直到今天，我们一直在学习他的几何知识，今天我们所熟知的很多定理和知识都来自这本书。

现在我们的学生都知道，其实泰勒斯利用的是三角形的两个特性：

1.等腰三角形的两底角相等；反过来说，等角所对应的边也必然相等；

2.任意三角形的三个角之和等于180度。

泰勒斯正是因为知道这两点，所以他才能够确定，当他的影子长度等于他的身高时，太阳光以45度角射向地面的。因此，金字塔的顶点、塔底的中心点以及塔的阴影的端点三者之间刚好形成了一个等腰直角三角形。

在阳光灿烂的日子，利用泰勒斯的这种测量方法来测量大树的高度是相当方便的，但大树只能是一株孤零零的大树，旁边没有别的树木，因为别的树木的阴影会和这株大树重叠在一起，影响测量结果。泰勒斯的这种方法还有一个限制，那就是在高纬度的地区，太阳经常距离地平线很近，因此很难找到合适的测量时机，只有在夏季正午左右才能使用这个方法来测量大树的高度。

图1　利用阴影测量树木的高度

但是这个局限是容易克服的，我们并不一定非要在那个特殊的时间才能测量。我们在测量高度的时候，除了要测量出测量对象的阴影长度之外，我们还需要另外测量出自己的身体或者一根杆子的阴影长度，这样就可以根据它们之间的比例计算出所要测量对象的高度：

AB∶ab=BC∶bc(www.daowen.com)

我们能够这样操作的原因是利用三角形ABC和三角形abc的相似性。也就说，树影的长度是杆子或身体长度的几倍，树的高度也就是你身高的几倍。

死记硬背这个规则是没有什么真正的意义的，我们需要做的是了解其中的几何学原理，因为在有些情况下，这个规则是不适用的。

图2　怎样正确使用这种测量方法？

请看图2，在路灯灯光投射出来的阴影下，木柱AB的高度比木桩ab高出大约两倍，但是木柱AB的阴影BC却是木桩ab的阴影bc多出七倍。这是为什么呢？因为太阳光线和路灯照射出来的光线是不一样的，路灯的光是点式的，所以它的光线是发散的，而太阳光的光线是平行的。

也许亲爱的你会发出质疑，如何判断出太阳光线是平行的？确实，从精确测量的角度来讲，太阳光线是有角度的，但是这个角度对于粗略测量来说，基本可以忽略不计。

我们来举一个简单的例子。假定太阳上某一点发出了两道光线，它们落到地面上相距1000米的某两点，假如我们有一把巨大的圆规。我们可以把圆规的一只脚放在太阳发出光线的那一点上，另外一只脚以太阳到地球的距离（即150000000千米）为半径画一个圆。我们计算得知，两道光线（两条半径）之间的弧长是1000米，而这个巨大的圆周长应该等于2×π×150000000千米=940000000千米。

这个圆周上每一度的弧长是圆周的，约为2600000千米；每一分的弧长是每一度的，约为43000千米，而每一秒的弧长又是每一分的，约为720千米。而我们假设的弧长只有1千米，因此，我们知道，与它对应的角只有秒。即使是精密的仪器也很难测量出如此微小的角度。所以，在测量的实际经验中，我们可以将太阳发出的光线视为平行的直线。

在这个阴影测量法中还有一个问题，因为太阳并不是点状光源，而是一个巨大的、四散的发光体，太阳光投射出来的每一个阴影的尽头都有一圈轮廓不明的影子，我们很难清晰的画出它的界线，因此也无法完全精准的测量出阴影的长度。

在图3中就能看到，树影BC会多出一段逐渐消失的半影CD，C、D两点与树顶A所形成的∠CAD与我们平常看太阳圆面所夹的角是相同的，我们称之为半度。因此，即使太阳的位置较高，因为阴影的原因所带来的在精确性上的误差也可能达到5%或者更多。再加上地面有起伏等无法避免的因素，也增大了误差。因此在山峦地带，这样的阴影测量法也不适用。

图3　为什么这种测量方法不适用呢？