（一）转变教育观念，将创造性能力作为整个数学教育的原则

要相信每个人身上都存在着创造潜力，学生和科学家一样，都有创造性，只是在创造层次和水平上有所不同而已。科学家探索新的规律，在人类认识史上是“第一次”的，而学生学习的是前人发现和积累的知识，但对学生本人来说是新的。我国教育家刘佛年教授指出，“只要有点新意思，新思想，新观念，新设计，新意图，新做法，新方法，就称得上创造”。所以对每个学生个体而言，都是在从事一个再发现、再创造的过程。数学教育家弗赖登塔尔在《作为教育任务的数学》中指出，将数学作为一种活动来进行解释，建立在这一基础上的教学活动，我称为再创造方法。“今天原则上似乎已普遍接受再创造方法，在实践上真正做到的却并不多，其理由也许容易理解。因为教育是一个从理想到现实，从要求到完成的长期过程。”“再创造是关于研究层次的一个教学原则，它应该是整个数学教育的原则。”通过数学教学这种活动来培养和发展学生的数学创造性思维，才能为未来学生成为创造型的人才打下基础。

（二）在启发式教学中采用的几点可操作性措施

数学教学经验表明，启发式方法是使学生在数学教学过程中发挥主动的创造性的基本方法之一。而教学是一种艺术，在一般的启发式教学中艺术地采用以下可操作的措施对学生的数学创造性思维是有益的。

第一，观察试验，引发猜想。英国数学家利特伍德在谈到创造活动的准备阶段时指出：“准备工作基本上是自觉的，无论如何是由意识支配的。必须把核心问题从所有偶然现象中清楚地剥离出来。”这里偶然现象是观察试验的结果，从中剥离出核心问题是一种创造行为。这种行为达到基本上自觉时，就会形成一种创造意识。我们在数学教学中有意识设计、安排学生观察试验、猜想命题、找规律的练习，逐步形成学生思考问题时的自觉操作，学生的创造性思维就会有较大的发展。

第二，数形结合，萌生构想。爱因斯坦曾指出：“提出新的问题，新的可能性，从新的角度去看旧的问题，都需要有创造性的想象力。”在数学教学之中，适时地抓住数形结合这一途径，是培养创造性想象力的极好契机。

第三，类比模拟，积极联想。类比是一种从类似事物的启发中得到解题途径的方法。类似事物是原型，受原型启发、推陈出新；类似事物是个性，由个性中提出共性就是创新。

第四，发散求异，多方设想。在发散思维中沿着各种不同方向去思考，即有时去探索新运算，有时去追求多样性。发散思维能力有助于提出新问题，孕育新思想，建立新概念，构筑新方法，数学家创造能力的大小，应和他的发散思维能力成正比。在数学教学中，一题多解是通过数学教学培养发散思维的一条有效途径。

第五，思维设计，允许幻想。数学家德·摩根曾指出：“数学发明创造的动力不是推理，而是想象力的发挥。”列宁也说过：“幻想是极其可贵的品质，甚至在数学上也是需要幻想的，甚至没有它就不可能发明微积分。”在数学抽象思维中，动脑设计，构想程序，可以锻炼抽象思维中的建构能力。马克思曾说过，“最拙笨的建筑师和最巧妙的蜜蜂相比显得优越的”是“建筑师在建造一座房子之前，已经在他的头脑中把它构成了”。根据需要在头脑中构想方案，建立某种结构是一种非常重要的创造能力。

第六，直觉顿悟，突发奇想。数学直觉是对数学对象的某种直接领悟或洞察，它是一种不包含普通逻辑推理过程的直接悟性。科学直觉直接引导与影响数学家们的研究活动，能使数学家们不在无意义的问题上浪费时间，直觉与审美能力密切相关。这在科学研究中是唯一不能言传而只能意会的一种才能。在数学教学中可以从模糊估量、整体把握、智力图像三个方面去创设情境，诱发直觉。使堵塞的思路突然接通！

第七，群体智力，民主畅想。良好的教学环境和学习气氛有利于培养学生的创造性思维能力。课堂上教师对学生讲授解题技巧是纵向交流垂直启发，而学生之间的相互交流和切磋则可以促进个体之间创造性思维成果的横向扩散或水平流动。

（三）具体到数学教学中，要注意以下几个方面

第一，加强基础知识教学和基本技能训练，为发展学生的数学思维和提高他们的创造能力奠定坚实的基础。一定的知识和能力是学生今后学习和工作成功的必备条件。就知识和能力的关系而论，脱离开知识，能力培养便失去基础；不去发展能力，便难以有效掌握知识，两者是不可分割的辩证统—体，教学方法的实质就在于如何在教与学的过程中，把获得知识和发展能力统一起来，使之相互促进。在教学中，知识和能力的统一问题，经常表现为正确处理好学懂与学会的矛盾问题。数学光学懂了不行，还要看解决问题的能力如何。数学知识的学习既要做到学懂，还要做到学会，但是学懂是基础。如果事先还没有学懂那根本谈不上学会。从教学角度来分析，懂得获得知识的问题，会是增长能力的问题。从懂到会要经过一番智力操作（其中特别是思维），是把人的外在因素转变为内在因素的过程。

第二，要重视在传授知识的过程中训练学生思维，培养能力。数学教学不仅要传授知识，而且要传授思想方法，发展学生的思维和提高他们的能力。而能力的发展要求与基础知识教学紧密地结合起来。从大量的知识内容中去获得思想方法和发展能力的因素。从反复的练习中去学会运用这种思想方法和发展能力。譬如，从总的方面来看，学生逻辑思维能力的发展经过了以下几个阶段：第一阶段，在小学阶段的教学中，理论和法则的阐述都是建立在归纳法（或叫作不完全归纳法）的基础上的。在传授知识过程中，开始总是摆事实，摆了一层又一层，在相信一层又一层事实的基础上，归纳出数学法则。这时的逻辑训练是在教给学生交换律、结合律、分配律这样一些运算的基本定律，学生就是在获得这些基础知识的过程中，在不知不觉中掌握归纳的推理方法，为今后学习物理、化学、生物等学科打下基础，学会如何通过几个实验、数量模型等归纳出科学的规律来。学生应善于运用所掌握的思维方法，会有较强的接受能力。第二阶段，是从中职几何课开始，学生开始系统地接受演绎思维的训练。演绎法是一种严密的推理方法，它是人类认识客观世界在思维方面的发展。单靠直观上的正确不能满足认识上的需要了，要证明两个线段相等不能靠量一量了事，要证明两个图形全等不能靠剪下来看是否重合，而是从已知条件出发，根据定义、公理和已被证明地演绎出必然的结果。最后，学生到了中职阶段，思想方法逐渐严密，他们产生这样一种思想，不满足用归纳法得出结果，还要求对这些结果进行演绎法的证明，证明它们或者成立，或者不成立。不仅了解局部的演绎证明，还想了解整个课程是按照一个什么样的演绎逻辑系统展开的。这样，中学教育无形中引导学生进入近代科学探讨问题的境界。总之，我们不能脱离开知识孤立地谈论能力培养，而是要在传授知识的过程中，结合知识获得的同时，一点一滴地去培养学生的能力。到了大学阶段，学生的基本思维能力均已具备，教学中就应重点考虑创造性：思维能力的培养。

第三，要研究把知识转化为能力的过程。对任何人来说，知识是外在因素，能力是内在因素。教学工作就是要促进知识转化为能力，而且转化得越快越好，这是教学方法的科学实质。我们知道只有在知识和能力之间建立起来一种联系才能促使其相互转化，这种联系是大脑功能的反映，是思维的产物。在教学中学生思维的内容就是教学内容，教师必须深入研究学生在学习过程中的思维状况，知识是在思维活动过程中形成的。在教学中智力对知识的操作是通过思维来实现的。这一般表现为求异思维和求同思维，这是学习过程中的基本的思维方式。求异思维就是对事物进行分析比较，找出事物之间的相同点和不同点。求同思维就是从不同事物中抽取相似的、一般的和本质的东西来认识对象的过程。

第四，解题是发展学生思维和提高能力的有效途径。所谓问题是指有意识地寻求某一适当的行动，以便达到一个被清楚地意识到但又不能立即达到的目的。而解题指的就是寻求达到这种目的的过程。著名数学教育家波利亚在《数学的发现》一书中指出：“掌握数学意味着什么呢？这就是善于解题，不仅善于解一些标准的题，而且善于解一些要求独立思考、思路开阔、见解独到和有发明创造的题。”从广义上说，学校学生的数学活动，其实也就是解决各种类型数学问题的活动。

解题是一种富有特征的活动，它是知识、技能、思维和能力综合运用的过程。在数学学习中，解题能力强的学生要比能力低的学生更能把握题目的实质，更能区分哪些因素对解题来说是重要的和基本的：有能力的学生对解题类型和解题方法能迅速地、容易地做出概括，并且将掌握的方法迁移到其他题目上面去。他们趋向跳过逻辑论证的中间步骤，容易从一种解法转到另一种解法上，并且在可能的情况下力求一种“优美”的解法；他们还能够在必要时顺利地把自己思路逆推回去。最后，有能力的学生趋向于记住题目中的各种关系和解法本质，而能力较低的学生甚至只能回忆起题目中一些特殊的细节。

思维与解题过程的密切联系是大家都清楚的，虽然思维并非总等同于解题过程，然而思维的形成最有效的办法是通过解题来实现的。正是在解数学题的过程中，有可能达到数学学习的直接目的的同时，最自然地使学生形成创造性的数学思维。在现代数学教学体系中，为了发展学生的数学思维和提高他们的数学能力，要求在数学课中必须有一个适当的习题系统，这些习题的配置和解答过程，至少应当考虑部分地适应发展学生的数学思维和提高数学能力的特点和需要。因此，数学教学一项最重要的职责是强调解题过程思维和方法训练。

第五，变式教学是“双基”教学、思维训练和能力培养的重要途径。所谓变式是指变换问题的条件或形式，而问题的实质不改变。不改变问题的实质，只改变其形态或者通过引入新条件、新关系，将所给问题或条件变换成具有新形态、新性质的问题或条件，以达到加强“双基”教学，训练学生思维和提高他们能力的目的，这种教学途径有着很高的教育价值。变式不仅是一种教学途径而且是一种重要的思想方法。采取变式方式进行教学叫作变式教学。

变式有多种形式，如形式变式、方法变式、内容变式。

第一，形式变式，如变换用来说明概念的直观材料或事例的呈现形式，使其中的本质属性不变，而非本质属性时有时无。例如将揭示某一概念的图形由标准位置改变为非标准位置，由标准图形改变为非标准图形，就是形式变式。我们把这种形式变式叫作图形变式。

第二，内容变式，如对习题进行引申或改编，将一个单一性问题变化成多种形式、多种可能的问题。一题多变就是通过变化内容使一个单一内容的问题，辐射成具有多种内容的问题。这种变式可以促使问题层层深入，思维不断深化。

第四，方法变式，如一题多解，通过方法变式，使同一问题变成一个用多种方法去解决，从多种渠道去思考的问题，这样可以促使思维灵活、深刻。

在《高等数学》教学中，要结合相关的知识点，着重培养学生的创造性思维能力：

第一，直觉思维能力的培养。美国著名心理学家布鲁纳指出：“直觉思维，预感的训练，是正式的学术学科和日常生活中创造性思维的很受忽视而重要的特征。”具体在教学活动中，要注意以下几点：

①重视数学基本问题和基本方法的牢固掌握和应用，加深学生对数学知识的直觉认识，形成数学知识体系。数学中的知识单元一般由若干个定义、公式、法则等组成，它们集中地反映在一些基本问题、典型题型或方法模式中。许多其他问题的解决往往可以归结为一个或几个基本问题，划归为某类典型问题，或者运用某种方法模式。

②强调数形结合，发展学生的几何思维和空间想象能力，数学形象直感是数学直觉思维的源泉之一，而数学形象直感是一种几何直觉或空间观念的表现，对于几何问题要培养几何自身的变换、变形的直观感受能力；对于非几何问题则尽量用几何的眼光去审视分析就能逐步过渡到几何思维方式。(www.daowen.com)

③凭借直觉启迪思路，发现新的概念、新的思想方法。从事数学发明、创造活动，逻辑思维很难见效，而运用数学直觉常常可以容易地抓住数学对象之间的内部联系，提出新的思路，从而发现新的内容与思想方法。

第二，猜想思维能力的培养。鼓励学生利用直觉进行大胆猜想，养成善于猜想的数学思维习惯。猜想是一种合理推理，它与论证所用的逻辑推理相辅相成，对于未给出结论的数学问题，猜想的形成有利于解题思路的正确诱导；对于已有结论的问题，猜想也是寻求解题思维策略的重要手段。培养敢于猜想，善于探索的思维习惯是形成数学直觉，发展数学思维，获得数学发现的基本素质。

常见的猜想模式有：

①通过不完全归纳提出猜想。这需要以对大量数学实例的仔细观察和实验为基础。

②由相似类比提出猜想。

③通过强化或减弱的条件提出猜想，可称为变换条件法。另外，还可通过命题等价转化由一个猜想提出新的等价猜想，称为逐级猜想法。

④通过逆向思维或悖向思维提出猜想。悖向思维是指背离原来的认识并在直接对立的意义上去探索新的发展可能性。由于悖向思维也是在与原先认识相反的方向上进行的，因此它是逆向思维的极端否定形式。数学史上无理数、虚数的引进在当时均是极度大胆的猜想，曾经遭到激烈的批评和反对，非欧几何公理的提出是逆向思维的大胆猜测。

⑤通过观察与经验概括，物理或生物模拟，直观想象或审美直觉提出猜想，在现实世界中，对称现象非常普及。反映到数学中，对称原理也是随处可见。尤其在描述、刻画现实世界中运动变化现象的重要学科——微分方程的理论中更是大显身手，即使在高度抽象的“算子”理论中也充分体现出数学的对称美。

第三，灵感思维能力的培养。通过研究数学史，结合心理学知识，人们总结出如下一些激发灵感的方法可供借鉴。

①追捕热线法。“热线”是由显意识孕育成熟了的，并可以和潜意识相沟通的主要课题和思路。大脑中一旦“热线”闪现，就一定要紧紧追捕。迅速将思维活动和心理活动同时推向高潮，务必求得一定的结果。古希腊的大科学家阿基米德，当罗马军队侵入叙拉古并闯入他家中时，正蹲着研究在地上的几何图形，继续追捕着他顿悟的数学证明，直到罗马士兵的宝剑刺到了鼻尖，他还坦然不畏地说：“等一下杀我的头，再给我—会儿功夫，让我把这条几何证完，不能给后人留下一条没有证完的啊……”。残暴的罗马士兵不容分说，便举剑向他砍去，阿基米德大喊一声：“我还没做完……”便倒在了血泊之中。他至死也不肯断掉头脑中的“热线”。

一旦产生“热线”，有了新思想，就要立刻紧紧抓住，否则稍纵即逝。这正如苏轼所言：“作诗火急追亡捕，情景一失永难摹。”

②暗示右脑法。按斯佩里的脑科学新成果，人的右脑主管着许多高级功能。比如音乐、图画、图形等感觉能力，几何学和空间性能力，以及综合化、整体化功能，都优越于左脑。因此，右脑主管着人的潜思维——孕育着灵感的潜意识。近几十年来，世界上许多心理学家、教育学家都相继把研究目光转向重视发挥潜意识的作用。保加利亚心理学家洛扎诺夫通过改革教学法的实验，得到用“暗示法”启示潜意识，调动大脑两半球不同功能的积极性，收到良好的效果。

③寻求诱因法。灵感的迸发几乎都必须通过某一信息或偶然事件的刺激、诱发。数学及其他科学发现中的大量事实表明，当思维活动达到高潮，问题仍百思不得其解时，诱发因素就尤为宝贵，它直接关系到研究的成功或失败。这种诱发因素的获得办法有多种，如自由的想象、科学的幻想、发散式的联想、大胆的怀疑、多向的反思等。

④暂搁问题法。如果思考的问题总是悬而难决，那就把它暂搁下来，转换思维的方向和环境，或去学习和研究别的一问题，过一段时间再回到这个问题上来，或不自觉地使你回到原题上来，有时就会突然悟出解决的办法来。“文武之道，一张一弛。”长期紧张的用脑思索之后，辅之以体育活动、文艺活动或散步、赏花、谈心、下棋、看戏、沐浴、洗衣等。有意识地使思维离开原题，让大脑皮层的兴奋与抑制关系得到调剂，才能有效地发挥潜思维的作用促使灵感的顿发。

⑤西托梦境法。美国堪萨斯州曼灵格基金会“西托”状态研究中心的格林博士认为，一个人身心进入似睡似醒状态时，脑电图显示出一系列长长的、频率为4—8周的电波，科学家称这种状态为“西托”。这种电波称为“西托波”。而在两托状态中做梦常常会迸发出创造性灵感。这种“西托”式的梦境，只有在思考的问题焦点时期，思索紧张，以至达到吃不好、睡不着的程度才易于出现。因此，并非一切“做梦”都能诱发灵感，我们应当创造条件，为有利的“做梦”提供机会。

⑥养气虚静法。以“养气”使身心进入“虚静”（排除内心一切杂念，使精神净化）。在“虚静”境界里，求得灵感的到来。这是中国古代提出的诱发灵感发生的成功方法。由于“养气”是要“清和其心，调畅其气”。使其心情舒畅，思路清晰、虚心静气。

⑦跟踪记录法。灵感像个精灵，来去匆匆，稍纵即逝。必须跟踪适录，随身携带笔和小本子，只要灵感火花一现，就即刻把它捕获记下。

上述方法，如用之于数学学习中，我们的学习就不只局限于再现式的学习，它将引导你去取得创造性学习的成功；如用之于研究数学问题中，将把你的思考引向新的境界，以获取某些新的创见。尽管灵感的生理机制和心理机制目前尚不清楚，但它确实存在，亦可捕捉。我们要学会捕捉它，从捕捉它的过程中，逐步掌握这种创造性的学习和思考的方法，逐步培养和提高自己的灵感思维能力。

第四，发散思维能力的培养。数学问题中的发散对象是多方面的。例如，对数学概念的拓广，对数学命题的推广与引申（其中又可分为对条件、结论或关系的发散），对方法（解题方法、证明方法）的发散运用等。发散的方式或方法更是多种多样，可以多角度、多方向地思考。例如，在命题的演变中可以采取种种逆向处理（交换命题的条件和结论构成逆命题，否定条件构成否命题）。可以采取保留条件、加强结论、特殊化、一般化、悖向处理提出新假设等各种方式。对于解法的发散方式则可以采取：几何法、代数法、三角法、数形结合法、直接法或间接法、分析法或综合法、归纳法或递推法、模型法、运动、变换、映射方法以及各种具体的解题方法等。

加强发散思维能力的训练是培养学生创造性思维的重要环节。那么，怎样训练学生的发散思维能力呢？

①对问题的条件进行发散：对问题的条件进行发散是指问题的结论确定以后，尽可能变通已知条件，进而从不同的角度，用不同的知识来解决问题。这样，一方面可以充分揭示数学问题的层次，另一方面又可以充分暴露学生自身的思维层次，使学生从中吸取数学知识的营养。

例如，求一平面区域的面积时，可将该平面图形放在二维坐标系中用定积分方法计算，也可以放在三维空间中的坐标面内，用二重积分、三重积分解决，还可以用第一类曲面积分知识、格林公式解决。

②对问题的结论进行发散：与已知条件的发散相反，结论的发散是确定了已知条件后，没有固定的结论，让学生自己尽可能多的确定未知元素，并去求解这些未知元素。这个过程是充分揭示思维的广度与深度的过程。

③对图形进行发散：图形的发散是指图形中某些元素的位置不断变化，从而产生一系列新的图形。了解几何图形的演变过程，不仅可以举一反三，触类旁通，还可以通过演变过程了解它们之间的区别和联系，找出特殊与一般之间的关系。

④对解法进行发散：解法的发散即一题多解。

⑤发现和研究新问题：在数学学习中，学生可以从某些熟知的数学问题出发，提出若干富有探索性的新问题，并凭借自己的知识和技能，经过独立钻研，去探索数学的内在规律，从而获得新的知识和技能，逐步掌握数学方法的本质，并训练和培养自己的发散性思维能力。