计数时,当某一位的数字达到某个固定值时,就向高位产生进位,这种按进位的原则进行计数的方法称为进位计数制,简称数制。在日常生活中最常用的数制是十进制。此外,也使用许多非十进制的计数方法,例如,计时采用的是六十进制;年份采用十二进制。不论哪种数制都由数字或字母、基数和位权组成。

每个数都由数字或数字和字母组成,进位计数制中所有的不同数字和字母的个数称为进位计数制的基数。例如十进制计数制是由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9共计10个数字组成,则十进制的基数是10。

位权是数制中每一固定位置对应的单位值。对于多位数而言,位权表示处在某一位上的“1”所表示的数值的大小,不同位置上的数字所代表的值是不同的,每个数字的位置决定了它的值或者位权。例如,十进制数第2位的位权为10,第3位的位权为100,而二进制第2位的位权为2,第3位的位权为4。

位权与基数的关系:各进位制中位权的值是基数的若干次幂。

(1)十进制数及其特点

十进制数是使用数字0,1,2,3,4,5,6,7,8,9来表示数值且采用“逢十进一”的进位计数制。十进制数的基数为10,各位的位权是以10为底的幂。例如,十进制数2836.45可表示为

2836.45=2×103﹢8×102﹢3×101﹢6×100﹢4×10-1﹢5×10-2

我们称此式为十进制数2836.45的按位权展开式。

(2)二进制数及其特点

二进制数的基本特点是基数为2,用两个数码0,1来表示,且逢二进一,因此,二进制数各位的位权是以2为底的幂。例如,二进制数1101.0101可表示为

1101.0101=1×23﹢1×22﹢0×21﹢1×20﹢0×2-1﹢1×2-2﹢0×2-3﹢1×2-4

(3)八进制数及其特点

八进制数的基本特点是基数为8,用0,1,2,3,4,5,6,7共计8个数字符号来表示,且逢八进一,因此,八进制数各位的位权是以8为底的幂。例如,八进制数7568.342可表示为(www.daowen.com)

7568.342=7×83﹢5×82﹢6×81﹢8×80﹢3×8-1﹢4×8-2﹢2×8-3

(4)十六进制数及其特点

十六进制数的基本特点是基数为16,用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F共16个数字符号来表示,且逢十六进一,因此,十六进制数各位的位权是以16为底的幂。例如,十六进制数5E8D.2A7可表示为

5E8D.2A7=5×163﹢E×162﹢8×161﹢D×160﹢2×16-1﹢A×16-2﹢7×16-3

总之,无论哪一种数制,其计数和运算都具有共同的规律与特点。采用位权表示法的数制具有以下3个特点:

①数字的总个数等于基数。例如,十进制使用10个数字(0～9)。

②最大的数字比基数小1。例如,八进制中最大的数字为7。

③每个数字都要乘以基数的幂次,该幂次由每个数字所在的位置决定。

对R进制数,其基数为R,用0,1,2,…,R-1共R个数字符号来表示,且逢R进一,因此,R进制各位的位权为R为底的幂。一个R进制数X的按位权展开式为

其中n为整数位数(最低位为0位),m为小数位数,Ai为该数X的第i位数字,R为进制数,Ri为该数第i位的权。

需要注意的是,为了区别各种计数制,可用下标来表示各种计数制,如十进制(235)10,二进制(1101)2等。有时也常用字母B,O,D和H分别来表示二进制、八进制、十进制和十六进制数。例如,(10011)2可表示为10011B,(9A)16可表示为9AH。