（一）量子力学中的讨论

雅默指出，虽然有限自由度的非相对论量子力学的逻辑数学基础，可能充分地为演绎理论的一致表达所建立，但是语义解释，尤其是可观察量的方法论作用仍然有一些含糊不清的问题。具体来说，在经典量子力学的结构内，质量概念的逻辑方法论地位似乎从来没有被彻底澄清。

通常的步骤是使质量概念从经典力学到量子力学的各种陈述中延续下去，质量因此作为一个在以算符和态函数来处理的量子力学问题的公式表达中的多余参数，是否质量本身不是一个可观测量或诸如是否可直接从可观测量导出的问题，以及它是否因此没有被一个像所有其他可观测量一样的算符所表征，这些问题通常被忽视了。

一些人可能会认为，在牛顿式的方式之后，质量的定义和确定可能合法地被量子力学所采用，因为根据艾伦菲斯特（Ehrenfest）和其他人的定理，或者根据对应原理，牛顿的运动方程是一个合乎逻辑的量子动力学基本方程的结果。但是必须认识到，艾伦菲斯特定理只是揭示了波包的动力学行为和牛顿粒子的动力学行为之间的一个相似点：他们没有在概念上将前者还原为后者。另一方面，尽管对应原理的历史和启发对于量子理论的发展很重要，但它不是理论本身的一个主要部分。实际上，从经典物理学到量子力学基本原则的严格推导是不可能的，尽管事实是薛定谔的波动力学到经典粒子力学具有像物理光学到几何光学的相同的关系。从经典力学到薛定谔方程没有一个合乎逻辑的推导，也不可能存在。也许起初把在量子力学基本方程中的m仅仅视为粒子特殊类型的一个参数的特性不那么令人反感，此粒子在方程中被涉及并在随后的理论发展中作为惯性因子来推断其物理意义。参数m的初步解释和其操作的测定可以由对一个衍射过程的德布罗意方程给出，即λ=h/mv，其中波长λ由衍射图样测量，v由测定速度的常规方法之一测量。方程中的参数m暂时没有惯性意义。那么问题产生了，是否可以把m作为一种惯性因子的解释单独地源自物质的波动性和辐射。事实上可以看到，德布罗意方程λ=h/mv和能量-频率关系E=hν，以及洛仑兹变换方程导致了方程中m的惯性解释，像这样一个从其波动方面导出的物质的惯性性质似乎是有趣的，但把质量概念引入经典量子力学不是一个令人满意的程序，因为在这里惯性质量是作为相对论效应出现的。^[20]

在经典量子力学中，指定“密度”用于具有分布在名义上无限波前的波函数，使这一“密度”结合起来遍积三维空间就会产生由波或波包表征的粒子的质量值。这样一种量子力学中的“质量”定义，由爱丁顿在他的不相容原理的重构中通过为基本波函数的“密度”分配饱和值而应用。由费米和威尔逊在他们企图使质量的电磁学解释与相对论理论一致的改进中的修改，包括某些与电磁学理论无关的考虑。那么，是否这样一个求助于外在电磁学的考虑必须被解释为一种迹象，即单独的电磁学理论是不能说明物质的惯性属性的。^[21]

（二）狭义相对论场论中的处理

在经典物理学中，一个粒子的质量是一个独立于场概念的概念，粒子和场被视为两个本质上不同的行动主体，粒子是场的来源并通过场起作用，但不是场的一部分。以参数的形式在运动方程中出现的质量，对于被讨论的粒子而言是固有的，它描述了粒子的惯性行为。在这个意义上，质量被称为粒子的“力学质量”，并表示为mm。实际上，前面讨论的电磁学质量是一个例外，因为它的来源被假设为粒子电荷和电磁场之间的相互作用，质量在这个理论中是一个衍生的概念，但电荷和场仍然相互不能还原，并且本质上是不同的行动主体。粒子的质量被假设产生于粒子场［自生场（self-field）］的相互作用，或假定为由场独自产生，被称为“场质量”。

如果一个理论中的粒子总质量是其场质量，这个理论将被称为质量一元（mass-unitary）理论。遵循玻恩和费尔德（Infeld）的观点，如果假设只有一个物理实体存在，我们应该称该理论为一元论派（unitarian）理论。一元论派场理论始终是质量一元理论，但并不是每一个质量一元理论必然是一元论派。例如，质量的经典电磁学理论是一个明确地表达质量一元理论的尝试，但它不是一个一元论派理论，因为电荷和场是相互不能还原的概念。^[22]

任何获得质量一元场理论的尝试都因此必须开始于对电磁场的麦克斯韦基本方程的彻底修改。大部分对麦克斯韦-洛伦兹理论的重新表达并没有多少与连贯的电子质量的质量一元起源有关，而是由一个略微不同的目标来实现，他们被征服量子电动力学中某些有关本性的困难的愿望所激励。作为由狄拉克、海森堡、泡利和约尔旦，以及费米基于电磁场和电子—正电子场概念所建立的现代量子电动力学，既是场理论又是基本粒子理论。量子化电磁场的状态与光量子相联系，量子化电子—正电子场与电子相联系。在这一理论发展的早期阶段，电子的自能量（self-energy），在微扰理论计算的最低阶，原来是一个发散的量。虽然基于狄拉克的空穴（hole）理论，这种发散由于真空自能量部分的抑制，是唯一一个对数性质的——与经典自能量的线性发散相反——所有无限质量不可避免的后果，这似乎使理论对于所有实际目的而言成了无效的。为了解决发散困难，最好的想法是先修改经典电磁场理论，从而在经典领域除掉这些无限远的点，并希望所修改的经典理论的量子化因此可能导致一个连贯的量子电动力学。波恩的电磁场的非线性理论作为当时最有希望的途径之一，是一个质量一元理论。^[23]

还有一种克服点粒子mf发散困难的途径是“λ-极限过程”（λ-limiting process），格里高尔·温采尔（Gregor Wentzel）于1933年引入这一推导。^[24]另外，对克服质量和能量的发散困难的建议最具有革命性的地方很可能是那些需要从根本上对空间和时间概念的应用的修改。早在1930年Ambarzumian和Iwanenkozs就质疑了基本粒子的空间扩展概念，引入了具有有限点阵常数的立方体空间点阵的思想方法，并概述了一项通过差分方程在物理理论中取代微分方程的计划。Watagin在“G因子”的幌子下引入了所有基本长度。1938年海森堡强调了引入普遍基本长度而不是普遍基本质量的优越性。席尔德（Schild）在1948年构造了一个（离散的）时空间非连续模型。^[25]

雅默指出，这些校正的程序，因为它们对现代场理论的发展是重要的，但由于主要是数学上的技巧处理，因此对质量本身更深刻的理解贡献不大。由克拉默斯（Kramers）首次提出的量子场论中的所谓重整化程序是为了排除归因于电子与电磁场的零点波动相互作用的无穷大。由于与自质量总和的总的可观察质量不可分，贡献于粒子质量的相互作用是完全被忽视的，如果剥夺其与场之间的相互作用，粒子就可能拥有的质量是一个有限的量。对于实验上可观察质量的有限总和给予调整常数的过程一般作重整化处理。这些重整化程序，除了从纯数学的角度来看是有问题，似乎既不导致质量本身的一致解释，也不导致一个明确的基本粒子质量谱的预言，并不是一个令人满意的质量本身的量子电动力学解释。^[26]

（三）广义相对论场论中的处理

历史上，“质量”首次出现在广义相对论的语境中，与所谓的由爱因斯坦于1916年发表的“等效原理”有关。惯性质量和引力质量之间的相等或相称暗示了“改变”均匀引力场的可能性。通过引力场与时空结构的合并，惯性质量和引力质量之间的等价在牛顿物理学中是一个经验的和纯粹偶然的特征，现已成为可解释的协变原理的结果。惯性质量和被动引力质量之间的相称成为广义相对论的构成原则。根据等效原理，所谓的“惯性力”（例如离心力），在牛顿力学中具有归因于参考系的不适当选择而被虚构的性质，在广义相对论中则被解释为产生于遥远的宇宙质量的真实的力。拒绝惯性力和引力在原则上的差异正是等效原理的本质，等式mi=mp是广义相对论的基础。^[27]

与惯性质量和被动引力质量的根本等同相比，广义相对论不能从作用与反作用原理得到主动和被动引力质量的同一，而这正是牛顿物理学基本原理的重要组成部分。对于广义相对论，建立在超距作用（和同时性）概念基础上的作用与反作用原理，与它的场理论的方法是不协调的。^[28]

就质量概念而言，广义相对论的早期发展显示了与量子力学早期阶段的相似性。在这两种理论中，质量概念都是通过类比被引入的，以便提供以经验数据和事实为切入点的其他抽象理论。但这两种理论在它们发展的那个阶段，质量的观念是不合法的内容，不适合它们的概念结构。当然，在广义相对论中这种非法性的原因与前面关于量子力学所勾画出的轮廓有完全不同的性质。广义相对论中质量或其等效能量，总的来说不是张量的一个分量，相比之下，密度才是动量—能量张量的T44分量。由于张量Tmn在作为场论的广义相对论中决定物理过程或事件的行为，因而把质量定义为T44对三维空间的积分将是合理的。但是，这个积分是只在零曲率空间中的一个张量分量。因此，将质量作为体积乘以密度（牛顿的定义1）的经典定义——它在概念上与场理论的观点相协调——成为不能接受的，更广泛的质量概念必须被采用。^[29](www.daowen.com)

如何以明确的、协变的和有意义的方式定义广义相对论中动力学系统的质量（或能量）问题，被爱因斯坦、Nordstriöm、克莱因、魏尔及其他人给予重视。为寻求解决的办法，先概括一下狭义相对论所采用的程序似乎是很自然的。在狭义相对论中的动量—能量四维矢量P，其时间分量为-E/c，满足关系

其中P2是P的空间分量平方的总和，m0是粒子或所讨论系统的惯性固有质量。现在，方程本身可以被视为质量的定义，方程的左边部分出现的术语可以被单独地测定。

于是问题产生了，即在广义相对论中，一个给定动力学系统的动量—能量矢量是否存在。这个问题在一定程度上由爱因斯坦和克莱因解决了。如我们所知，狭义相对论中动量和能量守恒定律可由洛仑兹不变式微分方程表示

其中Tik为系统总的动量—能量张量。对广义相对论而言，为保持公式的一致，要求动量—能量张量的协变散度消失。一个二阶张量的协变散度的消失，与一个矢量（例如，广义相对论电动力学中的电流-电荷-密度矢量）的协变散度相比，不需要普通散度的消失，如对守恒所要求的那样。爱因斯坦表明，守恒定律可以被写作如下形式

并且，其中的，爱因斯坦称其为“引力场能量的分量”，它被建立在gmn和它们的一阶求导之上。通过应用四维高斯定理，能够显示量

是时间的常数。此外，克莱因表明，在线性变换下表现得像矢量。由于在零曲率空间中还原为狭义相对论的Pi，类比方程（6-8），通过如下方程来定义体系的质量是自然的

如果独立于坐标系的选择，这样一个质量的定义在广义相对论中将是有意义的。不幸的是，只要爱因斯坦的“引力场能量的分量”被应用，它们就并非如此。爱因斯坦可能只表明了是独立于准伽利略坐标系的选择，也就是说，在距离系统和穿越它（所谓的“管道”或“管”）的四维—空间（four-space）区域足够大的空间的坐标中假设闵可夫斯基空间规度。^[30]

鉴于这些困难，爱丁顿和克拉克于1938年建议将动力学系统的质量定义为“在遥远距离给与相同线元的一个等效粒子的质量M”。更确切地说，当距离没有大到使势能的时间间隔在物理上是有意义的时候，它是所考虑的时刻系统的质量。此外，这个等效粒子的速度和加速度必须等于系统质量中心的速度和加速度。

很显然，引力力学系统的质量概念考虑到按照质量和能量的等价，任何属于系统的势能或动能都对“质量”有贡献。事实上，吉罗切（Gilloch）和麦克雷（McCrea）^[31]，在他们对旋转柱体质量的计算中就使用了这一定义，结果表明，该“质量”等于圆柱体的固有质量加上其动能除以c2。然而一般来说，正如爱丁顿和克拉克指出的那样，系统的质量等于固有质量和包括只有当惯性动量C（关于质心）未被加速时的系统的物体能量的总和。如果mi是该系统的固有质量，K和V分别是动能和势能，那么系统“质量”的一般公式为

当然，经典的质量相加性原则不再有效。之前以个体质量值描述动力学系统的单个组成部分，在广义相对论中似乎不再是合理的。当然，这是场理论为能量概念的解放必须付出的代价。

正如爱丁顿自己指出的，爱丁顿-克拉克的质量定义不符合广义相对论观点的要求。因为可以显示，被定义的量是T44+t44的空间积分，其中t44表示势能，然而术语tmn，即所谓的能量动量赝张量，是引力场强度的代数函数（gmn的一阶导数），就非线性坐标变换来说不是张量。

克拉克在《关于粒子系统的引力质量》一文中重新审视了1935年由惠特克（Whittaker）和鲁塞（Ruse）改进的某些建议。根据他们的观点，在广义相对论中，质量概念可以通过高斯定理的应用在其四维公式中定义。类比静电学，其中系统的电荷由通过一个环绕系统的封闭表面的静电场矢量的总通量确定，封闭表面的相对论引力的总通量与总的被封闭的引力质量成正例，比例系数为-4π。然而，由于与任何观察者所测量的一样，引力是与观察者的位置以及它的速度和加速度密切相关的，这一事实使得相对论处理变得复杂。惠特克成功地对在所讨论的情况下的静态引力场推广了高斯定理，接着，鲁塞推广了ds2=gmndxmdxn惠特克公式。静电学高斯定理中电荷的作用被惠特克计算中的替代，在鲁塞的计算中则为替代，其中Tik是能量张量，T=gmnTmn，λi是基本观察者的世界线方向（单位向量）。牛顿的质量概念因此不断地被能量张量质量所取代。由于在没有经典意义上的物质时能量张量质量不必要消失，因此引力质量自然必须被归因于力场中所包含的能量的任何形式。从严格的和一致的场论的角度来看，以张量Tmn表征物质和能量的方式必须被视为只是一个临时的策略，它最终必定被纯粹的场理论方法所替换。爱因斯坦本人非常不喜欢“人为的物质的能量动量张量和曲率张量之间的非法结合”。从而，惠特克-鲁塞-克拉克对质量概念的处理似乎尚未对我们的问题作出最终的解答。^[32]

广义相对论中粒子也可以被视为场gmn中的一个奇点。在四维空间中通过场方程将数学限制强加于奇异曲线是这样一个事实的表达：运动定律在广义相对论中没有附加必须被遵从——像在牛顿物理学中一样——的条件，但它是场方程本身的直接后果。由于质量是首要的决定运动的因素，也因为场是最初的和最终的数据，因此引入质量概念的唯一合乎逻辑的以及在方法论上令人满意的方式是通过场方程推导出运动定律。仅从场方程确定运动定律的问题在1938年由爱因斯坦、因费尔德和霍夫曼解决了，最后，爱因斯坦和因费尔德在1949年给出一个逻辑上仍然简单但技术上更加烦琐的解决方案，它可以达到任意高阶的近似。但是，把质量定义为度规中的奇异又引起了另外的问题，即使是爱因斯坦-因费尔德类推的方法也不能被视为导致了一个明确的质量定义。^[33]

综上所述，关于场论中的质量概念，物质的空间理论必须被考虑。当然，在他们把物理学还原为空间几何的尝试中，质量问题对于这些理论是至关重要的。这正是我们下面将要讨论的内容。