尽管使用质量概念是容易的，但给它们一个逻辑和科学上满意的定义是困难的。多数现代教科书的作者将粒子的惯性质量定义为作用于粒子的力F与由力产生的粒子的加速度a之比，并规定F必须是“不依赖于质量的”。这正是基于牛顿第二运动定律F=mia的定义。这样对质量定义的缺陷在于它的力的概念的使用：因为如果“力”被认为是原初的未被定义的术语，那么这个定义就引入了一个比原来需要解释的事物更难懂的东西；如果“力”是已被定义的，正如通常说的是加速度与质量的乘积，那么这个定义明显是循环的。^[1]为了解决循环的问题，一些物理学家提出了对惯性质量的操作定义方法。

1927年魏尔写道：“根据伽利略的理论，相同的惯性质量被认为是当两个物体以相同的速度碰撞，它们都不会比另一个跑得更快。”这个陈述构成了“魏尔惯性定义”的第一步。更详细的表述为：相对于一个惯性参考系S，如果两个粒子A和B的速度方向相反且大小相等，即u A并且uB=-uA，它们发生非弹性碰撞并结合为一个复合粒子A+B，它的速度u A+B为零，那么这两个粒子的质量mA与mB是相等的。这个实验是经常称为“分类测量”的一个例子，这个实验的结果不依赖于速度u A与u B的大小，并且可以推广到任何三个或以上的粒子，将所有粒子分类为相同的类别，那么这个类别的所有成员在质量上都是相等的。如果两个粒子的速度不相等，用m A+B表示复合粒子的质量，应用质量和动量守恒原理，即有方程mAu A+mBu B=mA+BuA+B=（mA+mB）uA+B，加上条件uA+B=0，得到mA/mB=-uB/u A。因此，对uA与mB的纯粹运动学测量决定了质量比mA/mB。如果选择mB作为质量的标准单位（即mB=1），那么粒子A的质量mA就确定了。

魏尔称这个质量的定义是作为“物理学概念公式化的一个典型的例子”，顺从了现代科学的特征，与亚里士多德的科学相比，它把定性的定义还原为定量的定义。他引用了伽利略的名言，即物理学家们的任务是“测量能够测量的，并尽力给出什么是不能这样测量的”。魏尔对质量的定义引出了许多问题，其中的哲学问题是：它是否真的是惯性质量的定义，而不仅仅是关于怎样测量这个质量大小的方式。它还可能被问到是否不涉及循环，因为假设参考系S是一个惯性系是其应用的一个必要条件，但是对于惯性系的定义暗示了力和质量的概念是必不可少的。^[2]

更广为人知的质量定义是恩斯特·马赫提出的。魏尔的定义是基于动量守恒的，马赫的定义则是建立在作用与反作用相等的原理上，或者说是建立在牛顿第三定律上的。在马赫的时代，物理学的任务是“事件的抽象定量表述”。物理学家不需要根据目的或隐藏的原因“解释”现象，而只需要给出现象之间的依赖关系的简单但可理解的说明。我们在后面将详细论述，他反对在物理学中使用形而上学概念，并特别批评了牛顿在《原理》中提出的空间与时间概念。关于牛顿的质量定义，马赫认为：“关于‘质量’的概念，考查牛顿的公式，把质量定义为一个物体的物质的量，并通过它的体积与密度的乘积来测量，这是不幸的。因为我们只能把密度定义为单位体积的质量，循环是显而易见的。”

为了避免牛顿对质量定义的循环以及一些形而上的模糊，马赫建议用操作定义来定义质量。它运用两个物体A与B之间的动力学相互作用，使它们在同一直线上向相反方向产生加速度。设aA/B表示由于B的作用A所产生的加速度，a B/A表示B的加速度，那么比例-aB/A/a A/B是一个独立于物体的位置或运动的正的量，马赫定义它为质量比，即mA/B=-aB/A/a A/B。通过引入第三个物体C，与A和B发生相互作用，显示了质量比满足传递关系mA/B=mA/CmC/B，他得到结论：每个质量比是两个正数之比，即mA/B=mA/mB，mA/C=mA/mC，以及mC/B=mC/mB。最后，如果它们中有一个物体，比如说A，被选择作为质量的标准单位（mA=1），那么其他物体的质量就被准一地确定了。

马赫将两个相互作用的物体的质量比等同于它们产生的加速度的反比，实质上是通过结合作用与反作用相等的牛顿第三定律与第二定律以达到对力的概念加以消除而实现的。事实上，如果FAB是B作用于A上的力，FBA是A作用于B上的力，那么根据牛顿第三定律有FAB=-FBA，而根据第二定律FAB=mAa A/B及FBA=mBaB/A，因而得到mAaA/B=-mBa B/A或mA/B=mA/mB=-aB/A/a A/B。正如马赫所声明的，质量比mA/B是两个惯性质量之比。因而马赫的操作定义是一个惯性质量的定义，他导出了质量概念且没有任何形而上学的来源。^[3]

20世纪30年代后期，马赫的定义受到挑战。因为一旦它不能唯一决定由任意数量的物体组成的动力学系统的质量值，它的应用范围就是非常有限的。彭德斯（C.G.Pendse）在1937年、1938年和1939年连续发表了三篇关于牛顿力学中的质量问题的论文。1937年的论文^[4]分为四个部分，第一部分简要说明了由伽利略和牛顿等人共同在18世纪以前建立的经典力学的基本原理，特别是牛顿力学中所关心的抽象的“粒子”概念；第二部分介绍了马赫的质量定义；第三部分从理论的角度对马赫定义进行了检验；第四部分讨论了质量的确定问题。作者指出，尽管经典力学在17和18世纪就已经基本上被确切地阐述，但对它的基本假设进行批判性检验是从19世纪开始，特别是马赫对质量概念进行的详细研究。

众所周知，在牛顿力学关于时空和物质的理论背景下，我们有了绝对空间、绝对时间和质量的基本概念。假设空间是欧几里得几何的，“粒子”是数学上的点，每一个点都被赋予一个称为“质量”的正常数，并以某个单位来定义它。点（或粒子）的位置由参考系Oxyz指定，并假设每一个点或粒子都存在唯一一个关于t（时间）的笛卡儿向量函数，即它的位置向量，它被假定为一个关于t的连续函数。我们假定OP为一个确定的点或粒子的位置向量，并假设OP是t的可微函数，OP的导数就是点或粒子相对于参考系Oxyz的速度，OP导数的导数就是点或粒子的加速度。由于有绝对空间假设和点粒子的位置向量假设，我们很容易推导连接相对于两个参考系的点粒子的速度（或加速度）与相对于参考系原点的速度（或加速度）的平行四边形法则，假设其中一个参考系的方向不随时间变化而相对于另一个参考系变化。由此我们可以假设任何一个参考系的方向不随时间变化，而是相对于我们所讨论的参考系中的任何参考系变化，可是，我们可以谈及相对于原点O的点的速度（或加速度）。彭德斯认为，正是在这样的空间时间和点粒子的基本假设下，才有了牛顿的三个运动定律；也正是有了牛顿的第二运动定律，才出现质量概念。

按照彭德斯的观点，物体被当作点粒子，“物体的运动”，即动量，是指物体的质量乘以它的速度；运动的变化率即是动量对于时间的变化率。假设质量保持不变，即有（d（mass×velocity）/dt）=mass×acceleration，假设力已经相对于牛顿参考系被正确地规定，我们可以得到m=F/a；再根据牛顿第三定律，我们可以推出多粒子系统的粒子质量。牛顿把物体的质量定义为物体的体积乘以它的密度，是因为牛顿认为密度是物体的固有属性，这个定义没有经验的和动力学的意义。彭德斯认为，马赫所指的质量的定义包含在牛顿第二和第三运动定律中。马赫的定义具有动力学特征。

在运用第二和第三运动定律推导了马赫的质量定义之后，彭德斯认为马赫关于两个物体或粒子的质量比的定义，只适用于物体相对于参考系形成一个孤立的系统的情况。当系统由两个以上的物体（或粒子）组成时，就有必要从理论的角度考察马赫的定义。彭德斯详细考察了由多个粒子组成的系统中粒子的质量，最后他指出，尽管一个粒子系统中各成员的质量之比可以根据第二和第三运动定律在概念上完全确定，但对于一个牛顿式的观察者想要唯一和准确的确定相互作用的粒子系统成员的质量之比，在下列情况下是不可能的：第一，如果系统有四个以上的例子，假使观察者仅考虑他们的瞬时加速度；第二，如果系统有七个以上的粒子，假使观察者可以任意使用他所选择的多个瞬时加速度。

在1938年的论文^[5]中，彭德斯进一步考察并表明有马赫定义的两个粒子的质量之比对所有观察者来说并不是都具有相同的常数。他认为，如果存在一个观察者能说一个两个粒子的系统是“孤立的”，并找到它们的质量之比，那么就存在无穷多个观察者，每个人都可以认为这个系统是“孤立的”并给出他们自己的质量之比，正如马赫所定义的，作为正数集合的比率的定义域。也就是说，马赫的定义并不能导致对所有观察者来说都是一样的两个粒子的质量之比。

彭德斯的结论很快受到纳利卡的挑战，^[6]纳利卡根据牛顿的引力平方反比定律，经推导得出n个相互作用的有重粒子系统中第k个粒子的加速度满足，既然所有的加速度（k=1，2，...，n）和所有都是可测量的，那么“所有质量在这种方法中就成为已知的。”但是应该提到的是，纳利卡在上述方程中定义的是引力质量，而不是惯性质量。他试图证明这个困难能在马赫的概念框架内通过诉诸于他的经验立场而得到解决，马赫的经验立场说道：“物体的质量比是（物体的）物理状态的独立特征，在某些状态下产生相互的加速度，这些状态是电的、磁的或其他的；并且他们坚持这是一样的，不管他们是直接地还是间接地达到。”因而有人可能说相对于它们的相互作用，质量比是不变的，也包括引力相互作用。当然，马赫没有明确地提出这个说法。

马赫的质量定义的另一个严重困难是关于参考系的独立性，即关于相对于此参考系产生的加速度的测量问题。我们回顾一下两个粒子A和B的质量比mA/B如何依赖参考系S。在相对于S以加速度a的运动参考系S′中，通过定义我们有a）（aA/B-a），得到=mA/B［1-（a/aB/A）］［1-（a/aA/B）］≠mA/B（对于a≠0）。因而为了得到唯一确定的质量值，马赫——至少是心照不宣地——假设了用于测量产生加速度的参考系是惯性系。但是，这样一个参考系要由匀速直线运动中相对于它的“自由”粒子（即没有外力作用于其上的粒子）运动的状态来定义。如我们已经看到的，这个状态涉及力的概念，而马赫将力定义为“物体的质量值和这个物体产生的加速度的乘积”。因此，马赫的定义涉及逻辑循环。

20世纪前几十年，马赫的质量定义作为他科学思想中形而上学的合法性例子受到了欢迎，特别是在由摩里兹·石里克（Moritz Schlick）建立的维也纳学派的成员中。逻辑实证主义与科学经验主义者否认康德的先验论，强调物理学基本概念的逻辑分析，常将马赫的质量定义作为一个范例。但20世纪50年代之后，科学实证主义哲学成为被批评攻击的对象。其中最有说服力的批评家之一是哲学家马里奥·邦格。根据邦格的观点，马赫混淆了“测量”与用定义来“计算”。尤其是方程mA/mB=-aB/A/a A/B，它建立了在意义上不同的两个表达的相等——左边表达“相对于物体B的惯性的物体A的惯性，右边表示纯运动学量——不能作为马赫所主张的定义的意义得到说明。它是数值的而不是逻辑的相等，它没有允许我们消除一边而赞成另一边”^[7]。(www.daowen.com)

类似地，雷纳特·瓦斯纳（Renate Wahsner）和Horst-Heino von Borzeszkowski也拒绝马赫的定义，因为基于此定义，质量的“真实本质”不能仅通过定量的测定而得到。正如路德维希·玻尔兹曼早就做过的，他们指责马赫与他的没有履行其适当任务的超经验力学的格言是相矛盾的。马赫的定义——建立在它基础之上的是两个相互吸引的物体之间的相互作用——不能证明是对力学中处理所有物体都是普遍有效的，他宣称的“经验命题”超越了经验，因为它预设了所有的力学原理。近似地，卡姆拉在1996年关于操作定义的一篇文章中，拒绝承认质量概念由在所有情形中都能以只包含位置、时间与速度（或加速度）概念的运动学语言来定义。他还论证道：“马赫的定义不是在适当意义下的定义……（因为）它只对那些刚好碰巧与其他物体相碰撞的物体才给出质量值。那个函数的所有其他值仍然是未确定的。”^[8]

A.Koslow在马赫的《质量概念：程序和定义》^[9]一文中，认为马赫的质量定义是建立在一个认识论基础上的令人满意的概念，马赫制定了一个取代牛顿概念的程序，它的质量定义是牛顿质量概念的一个可接受的替代品。在A.Koslow看来，把马赫的成就和他关于质量系数的具体建议混为一谈是错误的，马赫质量定义的可行性不仅取决于它更正式的应用，而且还取决于这个概念在他的程序中的适用性。A.Koslow首先分析了基尔霍夫基于分析传统对力与质量概念的处理，然后详细阐述了马赫基于因果力学传统来试图定义质量概念。

基尔霍夫的力学程序是拉格朗日和拉普拉斯力学程序的延续和改进。它包括三个要求：要求从力学中摆脱那些引起争论的概念，这些概念会损害力学的名声；要求使用最简单、完整的描述；并要求最终对所有类似定律（law-like）陈述的不变性。他认为必须取代把力学定义为力的科学，以及把力描述为产生运动，或倾向于产生运动的东西。在他看来，力学的历史表明，力学科学由许多不明确的东西发展而来的，其中原因和趋势的概念至少要负部分责任。因此，他的解决方案由两部分组成。第一，既然力作为原因或趋势的概念引起了这个问题，那么就应该把它从力学中淘汰。如果“力”一词被包含在力学的术语中，那么谈论力就被看作是一种引起某些方程组的方式。正如他所说，力学的工作不是查明原因，而是描述现象。他的方案的第二部分是对力学中所使用的描述类型的附加限制。他建议在力学中只考虑最简单和最完整的描述。根据他的说法，如果关于仍然没有得到解释的运动没有问题，那么此运动就是完整的。此外，简单性要求必须相对于理论做出，并且会随着科学的进步进一步发展而变换。

A.Koslow对基尔霍夫关于质量概念的数学处理做了一个简述。基尔霍夫假定任何质点的运动是由拉格朗日的方程描述的，这个方程满足基尔霍夫程序，在任意非奇异变换到直线坐标系下保持不变。每个质点的运动方程中都有一个特定的数值系数，他把这个系数称为粒子的质量。质量的某些经典牛顿特征很容易从他对质量的描述中得到。例如，无论粒子朝哪个方向运动，它的质量都必须是相同的。如果对运动方程稍加修改，使质量系数在不同的方向上是不同的，那么在任意的、非奇异的直角坐标系变换下，运动方程不会发生变化，因此，物体的依赖方向的质量被程序考虑排除在外。基尔霍夫延续了力学的分析传统，因为他应用了拉格朗日运动方程的形式，他利用它们的不变性作为类似定律的必要条件。他把法国分析哲学派的通常正规方法中的质点的质量处理为运动方程的一个数值系数。

与基尔霍夫不同，马赫不赞同物体的质量只是一组相互关联的方程中的一个系数数值。相反，他回到了以牛顿和欧拉为代表的因果力学传统。马赫不仅试图证明质量系数是与物体有关的数值量，而且它们还反映了物体之间因果相互作用的某些重要性质。因此，他仍然坚持认为，在某种意义上，一个物体的质量是一个物体固有的属性，物体的质量是正的，与速度无关的，可相加的，并且与物体的惯性成正比。但他并不是简单地重复牛顿和欧拉的观点。根据马赫的说法，牛顿和欧拉建立的理论体系包含了很多物理上是真实的东西，但也包含了很多哲学上站不住脚的东西，这使得他们的方法不可能被实际采用。在马赫看来，必须以一种令人信服的方式重新阐明这一传统的真理。

这种重新阐述最直接地体现在马赫对牛顿的物质和空间时间概念的批判上。例如，牛顿认为所有的物体都有质量，这意味着所有物体都有一定数量的物质。然而，马赫认为物质本身是一个不合法的科学的概念。同样，牛顿认为所有物体都有惯性，这意味着，在一定的条件下，它们在绝对时间的流逝中，相对于绝对空间，以一种特殊的方式运动或不运动。然而，马赫声称，绝对空间和时间的概念对科学来说也是不合法的。因此，鉴于马赫的科学合法性和科学价值标准，关键的牛顿概念和类似定律的陈述需要批判性的审查。“他写力学不是为了正确地展现其历史，而是为了使牛顿力学正确，不是在历史意义上，而是在科学意义上讨论牛顿的成就。”^[10]

马赫的目标是要摆脱形而上学的晦涩。在“物理上毫无意义”或“缺乏科学意义”的绝对空间中没有办法检测一个物体的行为。牛顿的“物质的量”也是不清楚的，即使用原子的数目来解释，仍然是不能令人满意的，因为原子的概念也是站不住脚的。根据马赫的说法，物质不能被感官所感知，某些诸如物质守恒之类的论断也不属于科学。他认为物质的概念对力学来说是不必要的，因为我们不需要用到它就可以把每一个有科学价值的力学结果都列出来。

A.Koslow认为，马赫对牛顿的这些批判并非所有都是合理的。他认为马赫力学的合法实体或概念要求单纯的依赖观察概念是一种狭隘的解释做法。马赫的这种理论认为，科学的价值取决于他对该理论的可观察性的重视，而不是该理论的预测力、解释力和组织力等因素。马赫认为牛顿的概念和定律不恰当地描述了事实和规律，他试图为那些他认为在科学上毫无价值的牛顿力学概念寻找替代品，以使得力学的结果尽可能地接近力学的因果传统。根据A.Koslow，因果传统至少可以追溯到牛顿本人，这一传统试图从个体的内部特性和作用与其上的某些外部因素或原因来解释个体的运动，这里的运动指的是相对于惯性参考系的直角坐标。在A.Koslow看来，分析传统与因果传统在概念、原理和问题上的类型上有所不同，这些概念、原理和问题在力学科学中被赋予了突出的作用，不管科学是否有假设基础。

分析传统主要关注的是物体系统的运动，而不是个体的因果行为，它强调的是物理量之间的关系，而不管使用的是哪种坐标系；而因果关系的传统主要关注的是因（力）与果（运动）之间的关系，当它们被称为特殊的坐标系时。力学原理借助于表示物体总能量和总功的表达式来描述，从而使个体对这些总能量和总功的贡献具有辅助和形式化的作用。例如，一个正的常数被叫作物体的质量，并不是因为它是物体惯性的值，而是因为它在表示系统的总动能时起着正式的作用。

因果传统主要由牛顿的影响而形成。通常来说，物体的因果思想传统的因果行为涉及外部和内部因素。牛顿把外部因素等同于作用于物体的总外力，内部因素则是质量或物质的量。这种效应与物体相对于绝对空间上的真实运动相一致。牛顿的质量成为因果传统的典范。根据因果传统，质量是一个物体的固有属性，它是一个正的、恒定的量，它是可相加的，并与物体的速度无关，与物体的惯性成正比。此外，通常认为作用于一个物体的外部原因来自其他物体的存在和运动，而所有物体都是三维延展的实体。

A.Koslow认为考虑到马赫系数所代表的意义，似乎很难相信马赫能够给因果关系的传统注入新的生命。除了围绕“绝对空间”“绝对时间”和“物质的量”等术语的突出作用而存在的明显困难之外，还有其他一些障碍，它们会或应该会使马赫几乎不可能坚持因果关系的传统。诚然，马赫坚持认为力学处理的是具有广延的中等大小的物体，而是没有广延的质点。这在某种程度上回到了牛顿和欧拉的基本原则，但相比认为物体的质量及其惯性是其固有属性的因果观，马赫的观点只是一种更小的回归。牛顿和欧拉都认为，即使宇宙中没有其他物体，物体也有质量和惯性。然而，根据马赫的观点，没有任何可靠的证据可以证明一个孤立的物体有一个固定的质量和惯性值，而不是另一个。

因此马赫关于质量的概念包含了认识论的特征。由于物体的质量是相互产生的加速度的比值，马赫的力学理论保证了在他的认识论异议下质量概念的不适用。尽管如此，但马赫并不认为他关于质量的观点构成对因果传统的背离。因果传统除了表现为把质量归因于孤立的物体外，还有另一面。一般来说，一个物体运动的外部原因可以追溯到其他物体的存在和运动。与此相关的信念是，一个物体的惯性行为是由其来自他物体的力引起的，这是马赫关于因果传统的基本观点，也是之前被忽视的因果传统的另外一面，马赫认为它反映了真理的核心。他试图通过对有关物体因果行为的某些事实进行更好地描述和组织，以使这一观点更加显著。我们在后面对马赫的《论质量的定义》的引用中列出了这些事实和“经验定理”，它也构成了其他学者批判马赫质量的核心。

马赫试图通过经验定义来建构质量、力和惯性的概念，即通过物体相互引起的加速度的比值来定义质量，然后把力定义为质量和加速度的乘积。而对物体加速度的规定涉及惯性参考系的说明，也就是说，惯性参考系反过来又设定了力、质量和惯性的概念。因此，一个对马赫质量概念的通常批判意见是认为他的质量概念是循环的。对于这种批判，A.Koslow认为是由于未能区分与惯性系有关的两类问题：一类是惯性特征的表征，一类是所有物体都具有这种特性的参考系的特定性。前者属于确定惯性特征的问题，后者属于应用问题。对于第一类问题，马赫认为，对更高精度的要求最终将要求越来越多地考虑环境因素；而对于第二类应用问题，马赫的惯性特征公式是指相邻物体的位置和加速度，这些位置和加速度的参考系仍有待确定。马赫的回答是，地球通常作为一个参考系统已经足够好，至于对于更大质量的运动，或要求提高精度，可以使用固定的恒星系统。马赫的经验定理暗示了某些条件的存在，在这些条件下，物体具有的惯性行为，但并没有提供对这些条件的说明。因此，A.Koslow认为马赫的质量定义不涉及循环。马赫建议用固定恒定系统框架来代替牛顿的绝对时空间框架。而这也仅是权宜之计，它的目标是要取消绝对空间的概念，在宇宙中除了经验事实外，不存在其他的属性和关系，但对于马赫来说，一个成功的对牛顿物理的替代品应该保留因果关系的传统。^[11]