定量分析方法大的方面有刚体极限平衡法、数值分析法和塑性极限分析法三类。在金属露天矿边坡中应用比较广泛的主要有前两者。

2.2.2.1　刚体极限平衡分析法

极限平衡法是经典的确定性分析方法，是目前边坡工程应用最广的方法。基本思想是基于静力平衡条件和摩尔－库伦破坏准则，根据边坡上的滑体分块的力学静力平衡分析边坡各种破坏模式下的受力状态以及边坡滑面上的抗滑力（或力矩）和下滑力（或力矩）之间的关系来评价边坡的稳定性。该法1916年由瑞典人彼德森提出，通常情况下，按照上述基本条件下建立的计算模型是一个非静定问题，需要引入一些假定条件使问题可解，于是根据假定条件的不同，出现了目前常用的多种极限平衡分析方法［1］，工程中常用的有Fellenius法、Bishop法、Janbu法、Morgenstern－Price法、Spencer法、传递系数法、简化Janbu法、楔形体法、Sarma法等。目前，极限平衡法已经从二维研究进入到了三维模拟，国外的Hovland和Leshchinsky，国内的学者陈祖煜［45－46］、朱大勇［47－48］、郑宏［49］在21世纪初期进行了集中深入研究，在三维理论计算方面功不可没。现把极限平衡法的各种主要方法例如表2－5所示。

表2－5　极限平衡法方法一览表

极限平衡法的优点在于：概念清晰，力学模型简单，容易被工程技术人员所接受和掌握，只需要提供少量的岩土参数和边界条件，就能计算出安全系数，这是其他数值方法尚不能完全替代极限平衡法的根本原因。

缺点主要有以下四点：一是除了瑞典法外，其他条分法在计算安全系数时，均不能写出显式表达式，必须经过试算迭代过程，并且由于假设条件过多，对于复杂滑动面情形常会出现迭代计算不收敛的问题；二是所有的条分法计算安全系数时，除临界滑动场法外均要事先知道滑动面的位置和形状，然后才能计算滑动体沿着滑动面发生滑动破坏的安全系数［50－51］；三是虽然可对边坡稳定性进行定量评价，但不能考虑坡体中的应力－应变状态，只是给出所有可能的危险滑动范围，主要对于均匀土质边坡计算结果较好；四是需对滑坡边界条件进行简化，人为假定条块之间的作用力方向和位置，对于由复杂介质和边界组成的岩质滑坡体，计算结果与实际相比有很大误差［4］。

（1）简化毕肖普法

式中：Wi——第i条块重量（kN）；

Vi——第i条块垂直向地震惯性力（V向上取“－”，向下取“＋”）（kN）；

Pi——作用于第i条块的外力（不含坡外水压力）（kN）；

μi——第i条块底面的单位孔隙压力（kN／m）；

bi——第i条块宽度（m）；

图2－5　简化毕肖普法计算简图

αi——第i条块底面与水平面的夹角（以水平线为起始线，逆时针为正角，顺时针为负角）（°）；

βi——第i条块外力Pi与水平面的夹角（以水平线为起始线，逆时针为正角，顺时针为负角）（°）；

c′i、φ′i——第i条块底面的有效粘聚力（kPa）和内摩擦角（°）；

ΜQi——第i条块水平向地震惯性力Qi对圆心的力矩（kN.m）；

Qi——第i条块水平向地震惯性力（Q1方向与边坡滑动方向一致时取“＋”，反之取“－”）（kN）；

hpi——第i条块外力Pi水平方向分力对圆心的力臂（m）；

R——滑动面圆弧半径（m）；

K——抗滑稳定安全系数。

（2）不平衡推力传递法

图2－6　不平衡推力传递法计算简图

式中：ψi——第i滑动条块侧面的推力传递系数；

Ubi——第i滑动条块底面的孔隙压力（kN）；

Ei－1——第i－1滑动条块作用于第i滑动条块的推力（KN）；

Ei——第i＋1滑动条块作用于第i滑动条块的反作用力（kN）与第i滑动条块的推力大小相等，方向相反。

（3）萨尔玛法

图2－7　萨尔玛法计算简图

作用于第i条块左侧面上的推力E，应按式（2－3－14）计算：

式中：c′bi、φ′bi——第i条块底面上的有效粘聚力（kPa）和内摩擦角（°）：

——第i条块底面上折减后的有效粘聚力（kPa）和内摩擦角（°）；

c′si、φ′si——第i条块第i侧面上的有效粘聚力（kPa）和内摩擦角（°）；

——第i条块第i侧面上折减后的有效粘聚力（kPa）和内摩擦角（°）；

c′si＋1、φ′si＋1——第i条块第i＋1侧面上的有效粘聚力（kPa）和内摩擦角（°）；

——第i条块第i＋1侧面上折减后的有效粘聚力（kPa）和内摩擦角（°）；

Usi、Usi＋1——第i面和第i＋1侧面上的孔隙压力（kPa）；

Ubi——第i块底面上的孔隙压力（kpa）；

Pfi——作用于第i条块上的加固力（kPa）；

δi，δi＋1——第i条块第i侧面和第i＋1侧面的倾角（以铅垂线为起始线，顺时针为正角，逆时针为负角）（°）；

En＋i——第n条块右侧面总的正压力（kN），一般情况下En＋i＝0；

Ei——第1条块左侧面总的正压力（kN），一般情况下Ei＝0；

Kc——临界水平地震加速度。

（4）楔形体法

楔形体法计算抗滑稳定安全系数时，楔体的滑动模式包括单面滑动、双面滑动以及脱离岩体运动，其滑动模式判断与安全系数应按下列公式计算进行，其计算简图见图2－8。

图2－8　楔形体稳定分析计算简图

①当Na＞0，Nb＞0时，楔形体沿结构面A和B的交棱线滑动，其安全系数应按下式计算：

②当Na或Nb出现负值时，若Na和Nb，满足Na＋mabNb≥0.楔体沿结构面A滑动，其安全系数应按下式计算：

③若Na和Nb满足Nb＋mabN≥0，楔体沿结构面B滑动，其安全系数应按下式计算：

若楔体脱离岩体运动，其安全系数为0。

式中：Aa、c′a、φ′a——结构面A的面积（m2）、有效粘聚力（kPa）和内摩擦角（°）；

Ab、c′b、φ′b——结构面B的面积（m）、有效粘聚力（kPa）和内摩擦角（°）；

ψa、αa——结构面A的倾角和倾向（°）；

ψb、αb——结构面B的倾角和倾向（°）；

ψc、αc——张裂缝面C的倾角和倾向（°）；

ψt、αt——锚杆或锚索加固力T的倾角和倾向（°）；

Ua——结构面A上的孔隙水压力（kN）；

Ub——结构面B上的孔隙水压力（kN）；

Uc——张裂缝面C上的孔隙水压力（kN）；

Ww——楔形体重量（kN）；

Tt——锚杆或锚索加固力（kN）。

（5）临界滑动场法

临界滑动场（Critical Slip Field）是边坡在临界状态下边坡体内无数条互不相交的危险滑动面组成的剩余推力极值曲线场，这些滑动面的形状不受任何数学限制，而临界滑动面是其中的一条［52］。CSF法仍以极限平衡条分法为理论基础，首先将边坡体分成很多条块（条块数比常规条分法所采用的数目多得多），再将条块间面分成众多状态点如图2－9（a）。在给定的安全系数下，边坡体的强度按同一比例发挥，过条块线上的任一点（不只限于状态点）都存在有危险滑动方向（用tanα表示，α为过该点上条块滑面的倾角）和最不利推力P，它们使最终出口处剩余推力最大。tanα、P可近似认为沿条块线分段线性分布。对于具体条块只计力的平衡，条间力的方向θ按有关常规条分法考虑，如简化Janbu法、余推力法（又称不平衡推力传递法）等。下面根据条块受力平衡如图2－9（b）给出通用计算公式［53－54］：

　图2－9（a）　边坡体的分条与离散　　

图2－9（b）　条块受力示意图

其中Fs为当前安全系数；Wi为条块重量（KN）；Ui为条底孔隙水压力kPa；Kc为地震影响系数；ci、φi分别为条底粘聚力（kPa）和内摩擦角（°）；li为条底长（m）；αi、αi－1分别为本条块和上条块的底面倾角（°）；Pi－1、Pi、和Pi＋1为条块间推力；gi＋1为与条块i＋1有关的常量。

CSF的出发点是对于设定的安全系数Fs，逐一求出各状态点的滑动方向tanα，使最终剩余推力极大；进一步调整安全系数，使剩余推力为零，得出边坡临界状态下的坡体内危险滑动方向场，进而在此基础上追踪出连续的临界滑动场如图2－10。

图 2-10　边坡临界滑动场　（csf)　图

临界滑动场法能准确、迅速、方便地定出边坡临界滑动面位置，并且不需要初始滑动面；临界滑动场比单一的临界滑动面更能反映边坡整体或局部的稳定性，它可将所有可能危险滑动范围同时显示出来，这是别的方法难以比拟的；在此基础上考虑全局临界滑动场法（GCSF）可以同时给出众多出口的局部临界滑动面及其对应的安全系数，有利于全面评价边坡整体及局部的稳定性。

（6）计算荷载

①抗震稳定计算时，各条块的地震惯性力应按下式计算：

(www.daowen.com)

式中：Fi——第i条块的水平地震惯性力（kN）；

a——设计地震加速度（m／s2）；

ξ——折减系数，可取0.25；

βi——第i条块的动态分布系数，可取βi＝1；

Wi——第i条块的重量（kN）；

g——重力加速度（m／s2）。

②边坡稳定计算时，考虑爆破振动力，各条块的水平爆破力可按下列公式计算：

式中：F′i——第i条块爆破振动力的水平向等效静力（kN）；

αi——第i条块爆破振动质点水平向最大加速度（m／s2）；

βi——第i条块的爆破动力系数，可取β1＝0.1～0.3；

Wi——第i条块的重量（kN）；

g——重力加速度（m／s2）；

f——爆破振动频率（Hz）；

Vi——第i条块重心处质点水平向振动速度（m／s）；

Q——爆破装药量，齐发爆破时取总装药量，分段延时爆破时取最大一段的装药量（kg）；

Ri——爆破区药量分布的几何中心至观测点或建筑物、防护目标的距离（m）；

K、a——与采场地质条件、岩体性质、爆破条件等有关的系数，由振动检测和测试数据获取。

③边坡稳定性计算时，岩体的自重在浸润线以上应采用天然重度，在浸润线以下应采用浮重度。对有地下水渗流的岩体，采用浮重度计算时，应考虑渗透水压力作用，各条块的渗透水压力可按下式计算：

式中：Pwi——条块i的渗透水压力（kN）；

γw——水的重度（kN／m3）；

Vi——条块i单位宽度岩土体的水下体积（m2）；

Ji——条块i地下水渗透坡降。

④根据岩质边坡中地下水位线，对边坡体某点的孔隙压力进行估算时，可视岩体性质、结构面的发育及其连通程度，按类似工程经验，对其水头进行折减。

⑤对降雨造成边坡坡体表层一定深度范围内形成暂态饱和区的情况，在计算孔隙压力时，宜进行折减。

2.2.2.2　数值分析法

数值分析方法是目前使用最普遍的分析方法之一，数值分析就是利用计算机对边坡岩土体的应力和应变状态进行详尽分析计算，进而对边坡进行稳定性综合分析评价。常用方法有有限元（FEM）法、边界元（BEM）法、离散元（DEM）法、数值流形法、快速拉格朗日（FLAC）法、块体理论（BT）法与不连续变形分析（DDA）法和无界元（IDEM）法等多种。

数值分析法的优点是在处理非均质、非线性、复杂边界边坡时，通过计算机处理获得岩土体应力应变关系，且能模拟边坡的开挖、支护、爆破及地下水渗流等条件下岩土体间及其与支护结构间的相互作用。

数值分析法的缺点明显表现在以下三点：一是应用有限元法进行边坡稳定性评价时，到目前为止还没有一个让理论界与工程界普遍接受的破坏判据，且在求解时仍然存在一些数值计算方面的问题；二是部分数值分析方法人为假定条件太多，理论上不够严密，分析边界带有很大的随意性；三是数值分析方法本身有较高的精度，但受地质模型、简化的力学模型和力学参数等的影响，如做概化处理时往往容易忽视软弱夹层和结构面等危险因素，使“高精度”的计算结果，难以作出“高准确”的评价。现把在金属矿露采边坡稳定性评价中应用相对较为成熟的有限元法简介如下。

（1）有限元的基本思想

有限元法是一种十分有效的数值分析方法。它有几个突出的优点：①可以用于解非线性问题；②易于处理非均质材料，各向异性材料；③能适应各种复杂的边界条件。岩土材料恰恰存在这几方面的问题，因此很适宜采用有限元法。该方法是将一个连续体结构，如图2－11（a）所示边坡，离散成有限个单元体如e单元体，如图2－11（b），这些单元体在结点处（如m、i、j）互相铰结，把荷载简化到结点上，计算在外荷裁作用下各结点的位移，进而计算各单元的应力和应变。用离散体的解答近似地代替原连续体解答。当单元划分得足够密时，它与真实解是接近的。

图2－11　有限元划分简图

（2）有限元分析步骤

在解这一连续体时先将连续体离散化，然后将物理方程、平衡方程、几何方程结合起来，变换为求解线性方程组问题。单元与单元之间只通过结点连接，有限元分析可概括为六个步骤：

①结构的离散化：将分析结构系统划分成有限个单元体，并在单元体的指定点设置节点，把相邻的单元体在节点处连接起来组成单元的集合体，以代替原来的结构。一般情况，单元划分越细则表述变形情况越精确，即越接近实际变形，但计算量越大。

②选择位移模式：选定位移模式，就可导出用节点位移表示单元内任意点位移。

③建立单元结点力和结点位移之间的关系。

④计算结点荷载（包括集中力、面力、体积力）。

⑤集合所有单元的刚度方程，建立整个结构的平衡方程。

⑥方程组求解。

为了建立总体结构的荷载与位移的关系式，首先分析单元体内的应力与应变关系，以三角形为例，图2－11（b）中单元体e有三个结点i、j、m，对平面变形问题，每个结点有x和y两个方向的结点力Fx和Fy，也有两个方向的位移分量u和v。e单元三个结点的位移分量共6个，以矩阵表示为：

相应的结点力分量为：

单元体内部任一点的位移，以｛f｝表示，包含u、v两个分量，假定以某种函数形式与结点位移{σ}e相联系，则：

对于三角形单元，可假定u和v在单元内部随x、y坐标线性变化。

在三个结点上的位移，也满足上式，将每个结点的坐标和位移代入上式，三个结点有6个方程，可解得系数a 1，a 2，…a 6。将它们表示成结点位移和结点坐标的函数，再代入（2－7－4），可得：

式中

系数ai＝xjym－xmyj，bi＝yi－ym，ci＝－xj＋xm

2－7－3式也可写成

其中I是二阶单位阵，N叫做形函数。

一旦结点上的位移确定，单元内部任一点的位移就可用（2－7－7）式求得，并可进而求应变和应力。按土力学习惯应变和应力取压为正，拉为负，则几何方程的符号规定便与弹性力学相反。

将（2－7－8）式代入，

对三角形单元，［B］　＝　［Bi，Bj，Bm］

对四边形单元，［N］和［B］的形式不同，仍可用（2－7－9）式表示应变和结点位移之间的关系。

进一步求应力为：

［D］可以为弹性矩阵，也可以为弹塑性矩阵。

设结构发生虚位移，e单元结点的虚位移为σ*{}e，相应的虚应变为ε*{}。由于单元之间只在结点处有力的联系，外荷也可简化移置到结点上，因此单元体e所受外力就是F{}e。由虚功原理：

将（2－7－9），（2－7－11）代入，可得

令

则

对于整体结构上的任一点i，建立平衡方程Ri

{}为i结点上的外荷。上式表示Ri{}与围绕i点的各单元在i点上的结点力之和相平衡，由（2－7－14）式，结点力又可以用结点位移来表示，这样（2－7－16）式可写成

对每一个位移未知的结点，都可写出这样的方程，集合在一起为方程组。

式中，［K］叫整体刚度矩阵，外荷｛R｝是已知的，［K］由单元刚度矩阵形成，解此联列方程，可得各结点位移，进而可解各单元应变和应力。

（3）有限元求解步骤

①用离散结构代替原结构：离散结构由许多单元体组成，各单元只在结点处有力的联系；

②荷载简化到结点上，｛R｝；

③由s～ε→［D］→［K］；

④解线性方程组［K］｛σ｝＝｛R｝；

⑤由位移｛σ｝→应变｛ε｝→应力｛s｝；

⑥对非线性问题，需重复③～⑤步。

应该进一步说明的是，有限元法在边坡稳定性分析中，既可用于二维分析，也可以用于三维模拟评价。目前主要用于滑动面应力分析和边坡岩体强度折减两方面求取边坡稳定系数（安全储备系数）。