在数学中，各种各样的变换是很常见的.例如，在解析几何中会用到坐标变换，而在高等数学中也会用到变量的代换.在本节，我们将研究两个线性空间之间的一种特殊的变换，这种变换保持空间的线性结构，也就是线性变换.

定义 1 设V,W是两个线性空间，从V 到W定义了一个函数f.若f满足如下运算规律（设α，β∈V，λ∈R）：

（1）f(α+β)=f(α)+f(β)；

（2）f(λα)=λf(α)；

则称f是从V 到W的一个线性变换.

接下来我们看一些线性变换的例子.

例1　设V,W是两个线性空间，对任意α∈V，令f(α)=0∈W，则f是从V到W的一个线性变换，称为零变换.

例2　设V是一个线性空间，对任意α∈V，令f(α)=λα，其中λ∈R是任意常数.则f是从V到自身的一个线性变换.

例3　对R2中的任一向量(x1,x2)，令f(x1,x2)=(x1,x1−x2,x1+x2)∈R3，则f是从R2到R3的一个线性变换.

下面给出线性变换的一些基本性质.

定理1 若f是一线性变换，则f(0)=0，f(−α)=−f(α).

证明：f(0)+f(0)=f(0+0)=f(0)，故f(0)=0.f(α)+f(−α)=f(α−α)=f(0)=0，故f(−α)=−f(α).

定理2 若f是一线性变换，α1，α2，…，αn线性相关，则f(α1)，f(α2)，…，f(αn)也线性相关.

证明：因为α1，α2，…，αn线性相关，故存在不全为零的常数k1,k2，…，kn，使得k1α1+k2α2+…+knαn=0，则0=f(0)=f(k1α1+k2α2+…+knαn)=k1f(α1)+k2f(α2)+…+knf(αn)，故f(α1)，f(α2)，…，f(αn)线性相关.

接下来我们研究从一个线性空间V到自身的线性变换.设L(V)表示从线性空间V到自身的所有线性变换组成的集合.对任意f,g ∈L(V)，α∈V，λ∈R，定义

（1）(f+g)(α)=f(α)+g(α)，(www.daowen.com)

（2）(λf)(α)=λf(α).

则容易验证L(V)对于如上定义的加法和标量乘法构成一个线性空间，其中的零向量即是零变换.

此外，我们还可以在L(V)中定义乘法.对任意f,g ∈L(V)，α∈V，定义f和g的积fg为f和g的复合f ◦g，即(fg)(α)=f(g(α)).显然，L(V)中的积不满足交换律，不过，它满足如下的运算规律：

（1）f(g+h)=fg+fh；

（2）(g+h)f=gf+hf；

（3）f(gh)=(fg)h；

（4）λ(fg)=(λf)g=f(λg).

练习题（四）

1.判断下列变换是否是线性变换.

（1）在线性空间V中，定义f(α)=α+α0，其中α，α0∈V，α0是一个固定的向量.

（2）在线性空间V中，定义f(α)=α0，其中α0∈V是一个固定的向量.

（3）在R3中，定义.

（4）在R3中，定义f(x1,x2,x3)=(2x1−x2,x2+x3,x1).

2.举例说明L(V)中的积不满足交换律.

3.证明：若线性变换f有逆变换，则其逆变换也是线性变换.