设V是一个线性空间，W是V的一个非空子集.若对W中的任意两个向量α，β，其和α+β仍然属于W，则称W对于加法是封闭的；同理，若对W中的任意向量α和R中的任意数λ，其积λα仍然属于W，则称W对于标量乘法是封闭的.

定理1 设V是一个线性空间，W是V的一个非空子集.若W对于加法和标量乘法都是封闭的，则W自身也成为一个线性空间.

证明：在W中，逐条验证加法和标量乘法满足线性空间的运算规律即可.

定理1 中所述的线性空间W称为V的一个子空间.

定理2 设V是一个线性空间，W是V的一个非空子集.则W是V的子空间当且仅当对任意α，β∈W和λ，μ∈R，都有λα+μβ∈W .

证明：充分性.若对任意α，β∈W和λ，μ∈R，都有λα+μβ∈W，则W对于加法和标量乘法都封闭，故W是V的子空间.

必要性.若W是V的子空间，则对任意α，β∈W和λ，μ∈R，都有λα∈W和μβ∈W，故λα+μβ∈W.

利用定理2，我们可以方便地判断一个非空子集是否是给定线性空间的子空间.下面给出一些子空间的例子.

例1　任何线性空间V都是自身的子空间，零空间{0}也是V的子空间.这两个子空间叫作平凡子空间，非平凡子空间叫作真子空间.

例2　三维线性空间R3中由一切形如(x,y,0)的向量所构成的集合是R3的一个子空间.

例3　在闭区间[a,b]上，所有可微函数构成的集合是连续函数空间的一个子空间.

例4　在所有一元多项式构成的线性空间P[ x]中，次数不超过n的多项式全体所构成的集合P[ x]n是P[ x]的一个子空间.

请读者自行验证上述例子.

在很多时候，我们需要考虑子空间的交与和.设W1和W2都是线性空间V的子空间，则W1∩W2也是子空间.一般地，若{Wi}（i的取值可以无限）是一族子空间，则它们的交∩Wi也是子空间.即子空间的任意交仍然是子空间.但是，一般地，子空间的并并不是子空间.(www.daowen.com)

设W1和W2都是线性空间V的子空间，则

W1+W2={α1+α2|α1∈W1，α2∈W2}

也是V的子空间，这个子空间叫作W1与W2的和.类似地，可以定义有限个子空间的和

W1+W2+…+Wn={α1+α2+…+αn|α1∈W1，α2∈W2，…，αn∈Wn}，

它也是V的子空间.

练习题（二）

1.验证如下集合是否是R4上的子空间.

（1）{(a1,a2,a3,a4)|a1+a2+a3=a4}；

（2）.

2.令Mn表示所有n阶方阵所构成的线性空间.令

S={A∈Mn|AT=A}，

T={A∈Mn|AT=−A}.

证明：S和T都是Mn的子空间，且S+T=Mn，S ∩T={0}.