定义1 设V是一个非空集合，R为实数域.从V ×V 到V定义了一个函数f，称为加法，记为f(α，β)=α+β；从V×R到V定义了一个函数 g，称为标量乘法，记为g(α，λ)=λα.若加法和标量乘法满足如下运算规律（设α，β，γ∈V，λ，μ∈R）：

（1）α+β=β+α；

（2）(α+β)+γ=α+(β+γ)；

（3）存在零向量0 ∈V，对任意α∈V，都有α+0=α；

（4）对任意α∈V，存在α的负向量β∈V，使得α+β=0；

（5）1α=α；

（6）λ(μα)=(λμ)α；

（7）(λ+μ)α=λα+μα；

（8）λ(α+β)=λα+λβ.

则V称为R上的线性空间（或向量空间），简称为线性空间.V中的元素称为向量.

简而言之，线性空间就是定义了加法和标量乘法的集合，且这两种运算和通常的加法乘法运算规律是一样的.

我们原来已经学过二维向量和三维向量，它们都可以表示为有序数组，且定义了加法和数乘.容易验证，这两种运算满足线性空间定义中所要求的运算规律，因此二维向量或三维向量的全体构成线性空间.接下来我们看一些其他例子.

例1　实数域R对于加法和数乘构成线性空间.其中零向量为0，任一实数的负向量为其负数.

例2　所有m ×n阶矩阵对于矩阵加法和数乘构成线性空间.其中零向量为零矩阵，任一矩阵A的负向量为−A.

例3　一元多项式的全体对于多项式的加法和数乘构成线性空间.其中零向量为f=0，任一多项式f的负向量为−f.

例4　定义在[a,b]上的连续函数的全体对于函数的加法和数乘构成线性空间.其中零向量为f=0，任一连续函数的负向量为−f.

例5　正实数的全体，记为R+，在其中定义加法和标量乘法为

a ⊕b=ab（a,b∈R+），(www.daowen.com)

λ⊗a=aλ（λ∈R,a∈R+）.

则R+对于上述运算构成线性空间.其中零向量为1，任一正实数x的负向量为.

请读者自行验证上述例子.

接下来讨论线性空间的一些性质.

定理1 零向量是唯一的.

证明：若01和02都是零向量，则根据零向量的性质，有

01=01+02=02.

定理2 任一向量的负向量是唯一的.

证明：若α有两个负向量β，γ，则根据负向量的性质，有

β=β+0=β+(α+γ)=(β+α)+γ=0+γ=γ.

据此，我们把α的负向量记为−α.

练习题（一）

1.证明：在线性空间中，0α=0，(−1)α=−α.

2.证明：在线性空间中，若λα=0，则λ=0或α=0.

3.证明：λ(α−β)=λα−λβ.

4.证明：在线性空间中，方程α+x=β有唯一解.