定义1 n元二次齐次多项式

称为二次型.

若取aji=aij，则2aijxixj=aijxixj+ajixjxi，于是式（1）可写为

再令A=(aij)，xT=(x1,x2，…，xn)，则式（2）化为

f(x1,x2，…，xn)=xTAx　（3）

这便是二次型的矩阵表示.

注意，式（3）中A是一个对称阵，称为二次型f的矩阵，A的秩称为二次型f的秩.

特别地，如果二次型只含有平方项，即，则称其为二次型的标准形；如果在标准形中k1,k2，…，kn只在1，−1,0中取值，则称其为二次型的规范形.如果aij均为复数，则对应的二次型称为复二次型；如果aij均为实数，则对应的二次型称为实二次型.本书只讨论实二次型.

例1　求二次型的矩阵.

解：由二次型矩阵的定义，有故所求矩阵为

a11=2,a22=0,a33=−1,a12=a21=−1,a13=a31=2,a23=a32=−1，

显然，二次型的标准形和规范形形式更为简洁，研究起来也比较方便.因此，我们想知道，二次型能否通过可逆变换化为标准形和规范形？为了回答这个问题，需要一些新的概念.

定义 2 设A与B是同阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得B=CTAC，则称A与B合同.

合同关系具有以下性质：

（1）自反性：任何矩阵都与自身合同，即A与A合同.

（2）对称性：若A与B合同，则B与A也合同.

（3）传递性：若A与B合同，B与C合同，则A与C也合同.

容易看出，与对称阵合同的矩阵仍然是对称阵，且合同矩阵具有相同的秩.此外，对于实对称矩阵，相似一定合同，但合同不一定相似.而对于一般矩阵，相似不一定合同.例如，由于，其中与互为逆矩阵，故与相似.但它们不合同，因此这是一个矩阵相似但不合同的例子.

现在考虑化二次型为标准形的问题.若二次型f=xTAx经可逆变换x=Cy化为

则CTAC是对角阵.因此，上述过程可简述为寻找可逆矩阵C，使得CTAC成为对角阵.这个过程称为矩阵A的合同对角化.

我们知道，对于对称阵A，总有正交阵P，使得P−1AP=PTAP成为对角阵.将此结论应用到二次型，即有如下定理.(www.daowen.com)

定理1 对二次型f=xTAx，存在正交变换x=Py，使f=xTAx化为标准形

其中λ1，λ2，…，λn是A的n个特征值.

例2　用正交变换将二次型f=−2x1x2+2x1x3+2x2x3化为标准形.

解：二次型f的矩阵为

按照对称阵的对角化方法，求出

于是，有正交变换

将二次型f化为标准形

如果要继续化为规范形，可再做变换

即得规范形

练习题（一）

1.化下列二次型为矩阵表示.

（1）f=x2+4y2+z2+4xy+2xz+4yz；

（2）f=x2+y2−7z2−2xy−4xz−4yz；

（3）f=x2+y2+z2−2xy+6yz.

2.用正交变换化二次型为标准形，并求对应的变换矩阵.

（1）；

（2）；

（3）.

3.证明：与合同.