实对称矩阵的特征值和特征向量具有一些特殊的性质，这些性质可以保证实对称矩阵一定可对角化.

定理2　实对称矩阵的特征值都是实数.

证明：设λ为实对称矩阵的特征值，α为对应的特征向量，即

Aα=λα，α≠0.

用表示λ的共轭复数，用表示α的共轭复向量，则

于是有

及

以上两式相减得

因为α≠0，所以，因而，即，从而可得λ为实数.

由于实对称矩阵A的特征值为实数，那么λE−A为实矩阵，则齐次线性方程组(λE−A)x=0的解可取为实向量，亦即实对称矩阵A的特征向量为实向量.

定理3　实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交.

证明：设λ1与λ2是对称矩阵A的2个不同特征值，α1，α2分别是A对应于λ1，λ2的非零特征向量，于是有

Aα1=λ1α1，Aα2=λ2α2.

因为

所以

λ1(α1，α2)=λ2(α1，α2)

即

(λ1−λ2)(α1，α2)=0

因为λ1≠λ2，所以(α1，α2)=0，即α1，α2正交.

定理4　设A为n阶实对称矩阵，λ为A的k重特征根，则r(λE−A)=n−k，从而特征根λ恰好对应k个线性无关的特征向量.

定理5　设A为n阶实对称矩阵，则必存在正交矩阵Q，使得

其中λ1，λ2，…，λn为A的n个特征值.

证明：设A的互不相同的特征值为λ1，λ2，…，λs，它们的重数分别为r1,r2，…，rs(r1+r2+…+rs=n).由定理2与定理4知，对应于特征值λi(i=1,2，…，s)恰有ri个线性无关的实特征向量.把它们标准正交化，就可得到ri个单位正交的特征向量组，由r1+r2+…+rs=n 知，这样的特征向量共有n个，又由定理3知，A的属于不同特征值的特征向量是正交的，故这n个单位特征向量两两正交，以它们为列向量构成正交矩阵Q，并且有Q−1AQ=diag(λ1，λ2，…，λn)，其中λ1，λ2，…，λn为A的n个特征值.

根据定理5，实对称矩阵的对角化问题，实质上就是求正交矩阵Q，计算Q的步骤如下：

（1）求出n阶实对称矩阵A的全部互异特征值λ1，λ2，…，λm，它们的重数依次为r1,r2，…，rm(r1+r2+…+rm=n)；

（2）求实对称矩阵A的特征向量.对每个特征值λi(i=1,2，…，m)，求方程组(λiE−A)x=0的基础解系，即为A的对应于λi的线性无关的特征向量，设为αi1，αi2，…，αiri.

（3）用施密特正交化方法，将特征向量αi1，αi2，…，αiri(i=1,2，…，m)正交单位化，得到一个标准正交向量组βi1，βi2，…，βiri(i=1,2，…，m).

（4）令Q=(β11，β12，…，β1r1，β21，β22，…，β2r2，…，βm1，βm2，…，βmrm)

这里Q为正交矩阵，且有Q−1AQ=QTAQ=Λ.

例5　设实对称矩阵，求正交矩阵Q，使得Q−1AQ=QTAQ=Λ为对角矩阵.

解：矩阵A的特征多项式为

故A的特征值为λ1=−3，λ2=2，λ3=6.

对于λ1=−3，解齐次线性方程组(−3E−A)x=0，得A的属于特征值λ1=−3的特征向量为α1=(1,1,1)T.

对于λ2=2，解齐次线性方程组(2E−A)x=0，得A的属于特征值λ2=2的特征向量为α2=(0,1，−1)T.

对于λ3=6，解齐次线性方程组(6E−A)x=0，得A的属于特征值λ3=6的特征向量为α3=(−2,1,1)T.

将α1，α2，α3单位化，可得(www.daowen.com)

令

则Q为正交矩阵，且有

例6　设实对称矩阵，求正交矩阵Q，使得Q−1AQ=QT　AQ=Λ为对角矩阵.

解：矩阵A的特征多项式为

故A的特征值为λ1=λ2=2，λ3=−7.

对于λ1=λ2=2，解齐次线性方程组(2E−A)x=0，得A的属于特征值λ1=λ2=2的特征向量为α1=(−2,1,0)T，α2=(2,0,1)T，先将向量α1，α2正交化，令

再单位化，得

对于λ3=−7，解齐次线性方程组(−7E−A)x=0，得A的属于特征值λ3=−7的特征向量为α3=(1,2，−2)T，将其单位化，得

令

则Q为正交矩阵，且有

例7　设三阶实对称矩阵A的特征值为λ1=−1，λ2=λ3=1，且属于λ1的特征向量为α1=(0,1,1)T，求矩阵A.

解：设A的属于特征值λ2=λ3=1的特征向量α=(x1,x2,x3)T，则α与α1正交，有

解此齐次线性方程组，得基础解系

α2=(1,0,0)T，α3=(0,1，−1)T.

易见，α2与α3正交，将α1，α1，α3单位化，可得

令

则Q为正交矩阵，且有

从而

练习题（三）

一、填空题

1.设A是三阶实对称矩阵，A的特征值λ1=λ2=2，λ3=−2，则A2014=__________.

2.已知二阶实对称矩阵A的一个特征值为λ=1，对应的特征向量α=(1，−1)T，如果|A|=−2，则A=__________.

3.已知矩阵只有一个线性无关的特征向量，则a=__________.

4.设α=(2,1，−1)T，矩阵A=ααT，n为自然数，则行列式|aE−A*|=__________.

5.已知三阶实对称矩阵A的一个特征值λ=2，对应的特征向量α=(2,1，−1)T，且A的主对角线上的元素全为零，则A=__________.

二、单选题

设A与B为n阶矩阵，且A与B相似，则（　）.

A.λE−A=λE−B

B.A与B均相似于同一个对角矩阵

C.A与B有相同的特征值与特征向量

D.对任意常数a，aE−A与aE−B相似

三、计算题

1.若，求正交矩阵Q，使得QTAQ为对角矩阵.

2.若，求正交矩阵Q，使得QTAQ为对角矩阵.