定义1　设A,B为n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P，使得

P−1AP=B，

则称矩阵A和B相似，也称B是A的相似矩阵，记作A～B.可逆矩阵P称为相似变换矩阵.

例1　设，，，不难验证P可逆，且.

由于

因此A～B.

例2　设，，问A是否相似于B？

解：因为存在可逆矩阵，使得

所以，A相似于B.

相似是方阵之间的一种关系，这种关系具有如下性质.

性质1 （1）自反性：A～A；

（2）对称性：若A～B，则B～A；

（3）传递性：若A～B，B～C，则A～C.

此外，相似矩阵之间有许多共同的性质.

定理1　若n阶矩阵A与B相似，则：

（1）|A |=|B|；

（2）r(A)=r(B)；

（3）A,B有相同的特征值；

（4）tr(A)=tr(B).

证明：由于A～B，故存在n阶可逆矩阵P，使得P−1AP=B，从而

（1）|B |=|P−1AP |=|P−1||A ||P |=|A|；

（2）r(B)=r(P−1AP)=r(AP)=r(A)；

（3）由于|λE−B|=|λE−P−1AP |=|P−1(λE−A)P|=|λE−A|，即A,B有相同的特征多项式，于是A,B有相同的特征值；

（4）由（3）即得.

定理2　若n阶矩阵A与B相似，则

tr(AB)=tr(BA).

证明：设A=(aij)，B=(bij)，则AB的第i行第i列的元素为

所以

又由BA的第k行第k列的元素为

于是有

tr(AB)=tr(BA).

推论1　若n阶矩阵A与对角矩阵

相似，则λ1，λ2，…，λn是A的n个特征值.

证明：因λ1，λ2，…，λn是Λ的n个特征值，由定理1可知λ1，λ2，…，λn也就是A的n个特征值.

例2　若，，且A～B，求 x,y.(www.daowen.com)

解：对角矩阵B的特征值为−1，2，y，由于A～B，因此A的特征值也为　−1，2，y.再根据相似矩阵有相同的迹，可得

解此方程组得x=0，y=−2.

两个相似的矩阵还具有下面的性质.

性质2 （1）若A～B，则kA～kB；

（2）若A～B，且A,B均可逆，则A−1～B−1；

（3）若A～B，则Am～Bm（m为正整数）；

（4）若A～B，且A,B均可逆，则A*～B*；

（5）若A～B，则AT～BT；

（6）若A～B，f(x)为x的多项式，则f(A)～f(B).

证明：（1）若A～B，则存在 n 阶可逆矩阵P，使得P−1AP=B，从而

P−1(kA)P=k(P−1AP)=k B，

从而kA～kB.

（2）若A～B，则存在n阶可逆矩阵P，使得P−1AP=B，从而

(P−1AP)−1=B−1，

即

P−1A−1P=B−1.

由于P可逆，P−1亦可逆，从而A−1～B−1.

（3）若A～B，则存在n阶可逆矩阵P，使得P−1AP=B，从而

从而Am～Bm.

（4）若A～B，则存在n阶可逆矩阵P，使得P−1AP=B.

又A,B均可逆，从而|A|≠0，|B|≠0.

由于

从而

A*～B*

（5）若A～B，则存在n阶可逆矩阵P，使得P−1AP=B，从而

BT=(P−1AP)T=PTAT(PT)−1，

由于方阵P可逆，则PT也可逆.从而AT～BT.

（6）设f(x)=a0xn+a1xn−1+a2xn−2+…+an−1x+an，则

f(A)=a0An+a1An−1+a2An−2+…+an−1A+anE，

f(B)=a0Bn+a1Bn−1+a2Bn−2+…+an−1B+anE.

若A～B，则存在n阶可逆矩阵P，使得P−1AP=B.由性质2（3）得

P−1AlP=Bl,l=1,2，…，n

从而

即f(A)～f(B).