定义2 向量组A ：α1，α2，…，αm的最大无关组所含向量的个数称为A的秩，记为r(A).

规定：只含零向量的向量组的秩为0.

有限个向量的向量组A ：α1，α2，…，αm可以构成矩阵A=(α1，α2，…，αm).联系第二章中矩阵的秩的定义，实际上向量组的秩就等于其对应矩阵的秩.

定理1 矩阵的秩就等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩.

采用矩阵的最高阶非零子式以及矩阵的秩的定义，可以证明定理1，这里留给读者自己证明（练习题（四）第2题）.并且，秩为r的矩阵中，最高阶非零子式Dr所在的列就是列向量组的一个最大无关组.约定符号r(α1，α2，…，αm)既可表示矩阵的秩也可表示列向量组的秩.

例2 已知向量α1=(1,3,6,2)T，α2=(2,1,2，−1)T，α3=(3,5,10,2)T，α4=(3,8,8,5)T，讨论向量组A ：α1，α2，α3，α4的线性相关性，求向量组A的秩及一个最大无关组.

解：

可知r(α1，α2，α3，α4)=3 ＜4，故向量组A线性相关，向量组的秩为3，α1，α2，α4是一个最大无关组.

例3 已知矩阵，求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示.

解：对A施行初等变换变为行最简形矩阵，

知r(A)=3，故列向量组的最大无关组含3个向量；而三个非零首元在第1，2，4三列，故α1，α2，α4为列向量组的一个最大无关组.

由A的行最简形矩阵可得：.

今后，在讨论向量组间关系时，可以直接使用向量组的秩的定义.例如，本章第三节中的向量组能被线性表示的充要条件也可以表达成如下定理.

定理2 向量组β1，β2，…，βl能由向量组α1，α2，…，αm线性表示的充要条件是r(α1，α2，…，αm)=r(α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βl).

下面归纳了几个重要的结论，供读者直接使用.(www.daowen.com)

已知n维向量组A ：α1，α2，…，αm，向量组B ：β1，β2，…，βl：

（1）向量组A线性无关⇔r(A)=m ；

（2）向量组A线性相关⇔r(A)＜m ；

（3）r(A)=r⇒向量组A中r+1个向量必线性相关；

（4）r(A)=r⇒向量组A中任意r个线性无关的向量均可构成最大无关组；

（5）r(A)≤r(A,B)；

（6）r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，这里AB指列向量组构成的矩阵的乘积.

练习题（四）

1.试求上三角矩阵列向量组的一个最大无关组.

2.用矩阵秩的定义证明以下结论：矩阵的秩就等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩.

3.求向量组α1=(2,4,2)T，α2=(1,1,0)T，α3=(2,3,1)T，α4=(3,5,2)T的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示.

4.求向量组α1=(1,2，−1,1)T，α2=(2,0,t,0)T，α3=(0，−4,5，−2)T，α4=(3，−2,t+4，−1)T的秩和一个最大无关组.

5.设Am×n及Bn×s为两个矩阵，证明：A与B乘积的秩不大于A的秩和B的秩，即 r(AB)≤min{r(A)，r(B)}.