定义2 给定向量组A ：α1，α2，…，αm，如果存在不全为零的数k1,k2，…，km，使

k1α1+k2α2+…+kmαm=0

则称向量组A是线性相关的.如果仅当系数k1=k2=…=km=0时上式成立，则称向量组线性无关.

例如，向量α1=(1,0,0)T，α2=(0,1,0)T，α3=(0,0,1)T就是线性无关的.

所谓向量组A ：α1，α2，…，αm线性相关，通常是指m≥2的情形，但定义2也适用于m=1的情形.当m=1时，向量组只含一个向量，对于只含一个向量α的向量组，当α=0时是线性相关的，当α≠0时是线性无关的.对于含2个向量α1，α2的向量组，它线性相关的充分必要条件是α1，α2的分量对应成比例，其几何意义是两个向量共线；3个向量线性相关的几何意义是三向量共面.显然，包含零向量的任何向量组是线性相关的.

向量组A：α1，α2，…，αm(m≥2)线性相关，也就是在向量组A中至少有一个向量能由其余m−1个向量线性表示.这是因为：如果向量组A线性相关，则有不全为0的数k1,k2，…，km使k1α1+k2α2+…+kmαm=0.

因为k1,k2，…，km不全为0，不妨设k1≠0，于是有

即α1能由α2，α3，…，αm线性表示.

向量组A ：α1，α2，…，αm构成矩阵A=(α1，α2，…，αm)，向量组A线性相关，就是方程组xα1+xα2+…+xαm=0有非零解，即Ax=0有无穷多解，此时r(A)=r(B)＜m .

定理2 向量组α1，α2，…，αm线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A=(α1，α2，…，αm)的秩小于向量个数m，即r(A)＜m；向量组线性无关的充分必要条件是r(A)=m.

由定理2可知，当向量组中向量个数大于向量维数时，向量组一定线性相关；此外，如果向量组中有部分向量线性相关，则整个向量组一定线性相关；线性无关的向量组中任何一部分向量构成的向量组一定线性无关.

例2 试讨论n维单位向量组ε1=(1,0，…，0)T，ε2=(0,1…，0)T，…，εn=(0,0，…，1)T的线性相关性.

解：n维单位坐标向量组构成的矩阵是n阶单位矩阵.

由，知r(E)=n，即r(E)等于向量组中向量的个数，故此向量组线性无关.

例3 已知，，，试讨论向量组α1，α2，α3及向量组α1，α2的线性相关性.

解：对矩阵A=(α1，α2，α3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵，可同时得到矩阵A=(α1，α2，α3)及B=(α1，α2)的秩：(www.daowen.com)

易见，r(A)=r(B)=2，故向量组α1，α2，α3线性相关，向量组α1，α2线性无关.

例4 已知向量组α，β，γ线性无关，证明向量组α+β，β+γ，γ+α也线性无关.

证明：设有一组数k1,k2,k3，使

成立，整理得(k1+k3)α+(k1+k2)β+(k2+k3)γ=0.

由于α，β，γ线性无关，故

方程组（2）的系数行列式，故仅有唯一的零解，即只有k1=k2=k3=0时式（1）成立.

因此，向量组α+β，β+γ，γ+α线性无关.

练习题（三）

1.已知向量组，，，，，试证明向量组α1，α2与向量组β1，β2，β3等价.

2.判断向量组，，是否线性相关.

3.设向量组α1，α2，α3线性相关，向量组α2，α3，α4线性无关，证明：

（1）α1能由α2，α3线性表示；

（2）α4不能由α1，α2，α3线性表示.

4.已知，，，讨论向量组α1，α2，α3的线性相关性.

5.已知向量组α，β，γ线性无关，证明向量组α+β，β+γ，γ+α也线性无关.