定义1 设有两个n维向量组A :α1,α2,…,αm和B :β1,β2,…,βl,若向量组B中的每个向量都能被向量组A线性表示,则称向量组B能由向量组A线性表示.若向量组A与向量组B能互相线性表示,则称这两个向量组等价.
向量组A和B可以依次构成两个矩阵,分别记作A=(α1,α2,…,αm)和B=(β1,β2,…,βl).根据定义,向量组B能由向量组A线性表示,即对B中的每个向量βj(j=1,2,…,l)都存在m个常数k1j,k2j,…,kmj,使得
,从而
,其中矩阵Km×l=(kij)称为这一线性表示的系数矩阵.
由此可知,若Bn×l=An×mKm×l,则矩阵B的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示,K为这一表示的系数矩阵.
类似地,可分析得矩阵B的行向量组能由矩阵K的行向量组线性表示,A为这一表示的系数矩阵.
定理1 向量组B :β1,β2,…,βl能由向量组A :α1,α2,…,αm线性表示的充要条件是矩阵A=(α1,α2,…,αm)的秩等于矩阵(A,B)=(α1,α2,…,αm,β1,β2,…,βl)的秩,即r(A)=r(A,B).
证明:向量组B :β1,β2,…,βl能由向量组A :α1,α2,…,αm线性表示,
例1 设,,,,,试证明向量组α1,α2与向量组β1,β2,β3等价.(www.daowen.com)
证明:记A=(α1,α2),B=(β1,β2,β3),则
显然,r(A)=2=r(A,B),故向量组B能由向量组A线性表示;
因为r(B)≤2且B中有二阶非零子式;
所以r(B)=2,即有r(B)=2=r(A,B),故向量组A能由向量组B线性表示.
综上,向量组α1,α2与向量组β1,β2,β3等价.
向量组等价具有传递性,下面给出传递性的描述.
引理 若向量组A可由向量组B线性表示,向量组B可由向量组C线性表示,则向量组A可由向量组C线性表示.
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