二维、三维向量之间的最基本的运算是向量的加法和数量乘法，对于n维向量，也可做类似的操作.

定义 3 两个n维向量α=(a1,a2，…，an)与β=(b1,b2，…，bn)的对应分量之和构成的向量，称为向量α与β的和向量，记为α+β，即α+β=(a1+b1,a2+b2，…，an+bn).由向量的加法及负向量的定义，可以定义向量的减法：

α−β=α+(−β)=(a1−b1,a2−b2，…，an−bn).

定义 4 n维向量α=(a1,a2，…，an)的各分量都乘以数k所构成的向量，称为数k与向量α的数量乘积，记为kα，即kα=(ka1,ka2，…，kan).

显然，k·0=0，0·α=0；如果k≠0，α≠0，则kα≠0.

向量的加法与数量乘积统称为向量的线性运算.

例1 已知向量α1=(1,4,5)，α2=(2,0，−3)，α3=(−3,1,4)，计算2α1−α2+α3.

解：2α1−α2+α3=2(1,4,5)−(2,0，−3)+(−3,1,4)

=(2,8,10)−(2,0，−3)+(−3,1,4)

=(−3,9,17).

向量的线性运算满足下列八条运算规律：

（1）α+β=β+α；(www.daowen.com)

（2）α+(β+γ)=(α+β)+γ；

（3）α+0=α；

（4）α+(−α)=0；

（5）(k+l)α=kα+lα ；

（6）k(α+β)=kα+kβ ；

（7）k(lα)=(kl)α；

（8）1·α=α.

其中α，β，γ是n维向量，k,l是实数.

以上运算规律根据向量加法和数乘的定义，可以简单证明，此处略过.

n维向量可以写为行的形式，如αΤ=(a1,a2，…，an)，称为行向量；也可以写为列的形式，如，称为列向量.列向量之间加法、数量乘法的定义及性质与上面的讨论完全类似.行向量和列向量可以通过转置运算相互转换，如，而βT=(b1,b2，…，bn).如未做特别说明，在本书中约定用α，β，γ，…表示列向量，用αT，βT，γT，…表示行向量.

行向量和列向量均可视为特殊的矩阵进行处理，因此行向量αΤ和列向量β也可以做矩阵乘法的运算，即.