在利用消元法求解线性方程组时，经常用到下面三种运算： （1）将两个方程位置对调；

（2）将一个方程的两边同时乘以一个非零常数；

（3）将一个方程的两边同时乘以一个非零常数后加到另外一个方程上去.

这三种变换称为线性方程组的初等变换.变换前后的方程组同解，并且方程组做初等变换运算时，只有方程组的系数和常数参与运算，因此对方程组做初等变换可转为对矩阵施行初等变换.矩阵的初等变换是对矩阵施行的一种基本运算.

定义1 下列三种变换称为矩阵的初等行变换：

（1）交换矩阵的两行：

互换i,j两行，记作：ri↔rj；

（2）用一个非零的数乘矩阵的某一行：

数k乘第i行，记作：ri×k；

（3）把矩阵的某一行所有元素的k倍加到另一行对应元素上去：

第j行乘k加到第i行上去，记作ri+krj.

如果把定义中的行换成列，把记号中的“r”换成“c”，就得到了矩阵的初等列变换的定义.

矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换.

定义2 如果矩阵A经过有限次初等变换后变成矩阵B，就称矩阵A与B等价，记作A→B.

例如：与等价.

矩阵之间的等价关系具有下列性质：

（1）自反性：A→A；

（2）对称性：若A→B，则B→A；

（3）传递性：若A→B，B→C，则A→C.

定理1 非奇异方阵A经过有限次的初等变换后得到的方阵B仍为非奇异方阵，反之亦然.(www.daowen.com)

这是因为这三种变换不会改变的非零性.

例1 设，试用初等行变换判断A是否可逆.

解：.

而，所以，于是A可逆.

我们也可以将方阵A一直化为单位矩阵：

这个过程具有一般性，而由此可得推论：

推论任何非奇异方阵都可以经过有限次的初等变换化为单位矩阵.

定理2 任意矩阵都可经过有限次的初等变换化成行阶梯形矩阵.

例2 用初等行变换将矩阵A化成行阶梯形矩阵，其中.

解：.

B就是行阶梯形矩阵.

一般来说，行阶梯形矩阵不是唯一的.

例如：将矩阵化成行阶梯形矩阵.

这里，B与C都是A的行阶梯形矩阵.

定理3 任意矩阵都可经过有限次的初等变换化成行最简形矩阵，并且任意的矩阵经过初等变换化成的行最简形矩阵是唯一的.

例3 用初等变换将例2中的行阶梯形矩阵继续化成行最简形矩阵.

解：

C就是行最简形矩阵.