伴随矩阵的定义 设A为n阶方阵，行列式的各元素的代数余子式所构成的如下方阵，称为方阵A的伴随矩阵，记作A*.即

例2 求方阵的伴随矩阵.

解：A11=d，A12=−c，A21=−b，A22=a，从而

伴随矩阵的性质 ，且.

证明：设A=(aij)n×n，可得，于是

其中，于是

同理 .

上式两边同时取行列式有，，于是.

定理1 方阵A可逆的充要条件为，且.

证明：(⇒)A可逆，则存在A−1使AA−1=A−1A=E，于是，所以.

(⇐)由且可得，于是A 可逆，且.

当时，方阵A称为非奇异方阵；当时，方阵A称为奇异方阵.

例3 求方阵的逆矩阵.

解：由于，所以A可逆，而，，，，，，，，，于是，则.

例4 已知，A*是A的伴随矩阵，求(A∗)−1.

解：，A可逆，从而，于是，.

定理2 设A为n阶方阵，则方阵A可逆的另一充要条件为存在n阶方阵B使得式子AB=E（或BA=E）成立.

证明：(⇒)A可逆，则由定义可得，存在n阶方阵B使AB=E.

(⇐)若AB=E，则，故，于是A可逆.

例5 已知n阶方阵A满足A2−A−2E=O，其中A给定，E为n阶单位矩阵，证明：A、A+2E均可逆，并求它们的逆矩阵.

证明：由A2−A−2E=O，得

A( A−E)=2E，

⇒.

由定理2可得A可逆，且.

又由A2−A−2E=O，

⇒(A+2E)(A−3E)+4E=O

⇒

故A+2E可逆，且.

方阵的逆矩阵满足下面运算律：

（1）若A可逆，则A−1也可逆，且(A−1)−1=A；

（2）若A可逆，数k≠0，则kA可逆，且；

（3）若A,B为同阶方阵且均可逆，则AB也可逆，且(AB)−1=B−1A−1；

（4）若A可逆，则AT也可逆，且(AT)−1=(A−1)T；

（5）若A可逆，则有.(www.daowen.com)

例6 解方程组AXB=C，其中，，.

解：若A−1，B−1都存在，则A−1AXBB−1=A−1CB−1，即X=A−1CB−1.

由例3可知A可逆，而，所以B也可逆，且，，于是.

在逆矩阵存在的前提下，利用逆矩阵求解矩阵方程，有下面的结果：

（1）若AX=B，则X=A−1B；

（2）若XA=B，则X=BA−1；

（3）若AXB=C，则X=A−1CB−1.

练习题（三）

1.判断下列矩阵是否可逆.

（1）；

（2）；

（3）.

2.求下列矩阵的伴随矩阵.

（1）；

（2）；

（3）.

3.利用伴随矩阵求下列矩阵的逆矩阵.

（1）；

（2）；

（3）.

4.解以下矩阵方程.

（1）；

（2）.

5.选择题.

（1）设A,B,C均为n阶方阵，且ABC=E，则下列矩阵为单位矩阵的是（　）.

A.ACB　B.CBA　C.BAC　D.BCA

（2）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=O，则（　）.

A.E−A不可逆，E+A不可逆　B.E−A不可逆，E+A可逆

C.E−A可逆，E+A可逆　D.E−A可逆，E+A不可逆

6.证明题.

（1）已知n阶方阵A满足A2−2A+E=O，其中A给定，E为n阶单位矩阵，证明：A,A+2E均可逆，并求它们的逆矩阵；

（2）设A,B均为n阶方阵，且B和E−AB都是可逆阵，证明：E−BA可逆.

7.设A为3阶方阵，已知，求.