矩阵的转置 把矩阵A的行换成同序数的列所得到的新矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为AT.

例11 已知，求AT.

解：.

容易看到，如果A是m ×n矩阵，则AT是n ×m矩阵.

矩阵的转置满足下面的运算律：

（1）(AT)T=A；

（2）(A+B)T=AT+BT；

（3）(kA)T=kAT；

（4）(AB)T=BTAT.

对于（4）做以下简单说明：

设A=(aij)m×s，B=(bij)s×n，则AB是m ×n矩阵，于是(AB)T是n ×m矩阵；又BT是n ×s矩阵，AT是s ×m矩阵，所以BTAT也是n ×m矩阵，于是(AB)T与BTAT是同型矩阵.对于(AB)T中的第i行第j列元素，事实上是AB中的第j行第i列元素，即A中第j行与B中第i列对应元素的乘积之和；而BTAT中的第i行第j列元素是BT中第i行与AT中第j列对应元素的乘积之和，即B中第i列与A中第j行对应元素的乘积之和.这说明(AB)T与BTAT不仅是同型矩阵，而且对应元素相等，于是有(AB)T=BTAT.(www.daowen.com)

例12 已知，，求(AB)T.

解：方法一：

方法二：

例13 设A为n阶方阵，B=AAT，且，求A.

解：因为，，

所以aij=0,i=1,2，…，n； j=1,2，…，n.

故A=O.

推广：（1）多个矩阵乘积的转置，如(ABC)T=CTBTAT；

（2）若矩阵A满足AT=A，则A为对称矩阵；

（3）若矩阵A满足AT=−A，则A为反对称矩阵.