1.矩阵的乘法

设矩阵A=(aij)m×n，B=(bij)n×p，定义矩阵C=(cij)m×p，其中cij=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj.称矩阵C为矩阵A与B的乘积，记为C=AB.

注1：只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才可以相乘；

注2：乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数，列数等于右矩阵的列数；

注 3：乘积矩阵的第i行第j列元素是左矩阵的第i行与右矩阵的第j列的对应元素的乘积之和.

例5 已知，，求AB.

解：

注意：矩阵乘法一般不满足交换律.

例6　已知，，求AB及BA.

解：

例7 已知A=(1 2 3)，，求AB及BA.

解：

例8 已知，，求AB及BA.

解：

注意：两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，因此，由AB=O推不出A=O或B=O.

另外，矩阵乘法也不满足消去律，即：若AB=AC且A ≠O，也推不出B=C，如

矩阵乘法满足下面的运算律：

（1）(AB)C=A( BC)；(www.daowen.com)

（2）A( B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA；

（3）Em×mAm×n=A，Am×nEn×n=A；

（4）k(AB)=(kA)B=A( k B).

2.方阵的幂

设A为n阶方阵，k为正整数，则k个A的连乘积称为方阵A的k次幂，记作Ak，即.

方阵的幂满足下面的运算律：

（1）Ak　Al=Ak+l；

（2）(Ak)l=Akl.

注意：由于矩阵乘法一般不满足交换律，所以一般来讲有以下结果成立：

（1）(AB)k≠Ak　Bk；

（2）Ak=O，推不出A=O；

（3）(A+B)2≠A2+2AB+B2.

例9 已知，f(x)=x2−3 x+3，求f(A).

解：

例10 已知，求An.

解：

依次下去，可得.