定理1（LapLace展开式定理）　n阶行列式D等于它的任意一行（列）的元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即

D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin(i=1,2，…，n)，

或

D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj(j=1,2，…，n).

证明：只需证明按行展开的情形，按列展开的情形同理可证.

1°先证按第一行展开的情形.

根据性质5有

按行列式的定义有

同理

所以

D=a11A11+a12A12+…+a1nA1n.

2°再证按第i行展开的情形.

将第i行分别与第i-1行、第i-2行、…、第1行进行交换，把第i行换到第1行，然后再按1°的情形，即有

定理1也叫作行列式按行（列）展开法则，此定理表明，n阶行列式可以用n-1阶行列式来表示，因此该定理又称为行列式的降阶展开定理.

例2　计算四阶行列式.

解：

由上题得，利用此定理并结合行列式的性质，可以大大简化行列式的计算.计算行列式时，一般利用性质将某一行（列）化简为仅有一个非零元素，再按定理1展开，变为低一阶行列式，如此继续下去，直到将行列式化为三阶或二阶.这在行列式的计算中是一种常用的方法，称为降阶法.

例3　计算行列式.

解：D的第4行已有一个元素是零，利用性质5，有

例4

式中左端叫范德蒙（Vandermonde）行列式.结论说明，n阶范德蒙行列式之值等于a1，a2，…，an这n个数的所有可能的差ai-aj（1≤j＜i≤n）的乘积.

证明：用数学归纳法.

1°当n=2时，计算2阶范德蒙行列式的值：，可见n=2 时，结论成立.

2°假设对于n-1阶范德蒙行列式结论成立，来看n阶范德蒙行列式：把第n-1行的（-a1）倍加到第n行，再把第n-2行的（-a1）倍加到第n-1行，如此继续，最后把第1行的（-a1）倍加到第2行，得到

后面这个行列式是n-1阶范德蒙行列式，由归纳假设得

于是上述n阶范德蒙行列式等于

根据数学归纳法原理，对一切n≥2，式（1）成立.

定理2　n阶行列式D中某一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即：

ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0　(i≠j)

或

a1jA1t+a2jA2t+…+anjAnt=0　(j≠t)(www.daowen.com)

证明：只证行的情形，列的情形同理可证.

把行列式D按第j行展开，有

将上式中的ajk换成aik（k=1,2，…，n），

当i≠j时，上式的第i行与第j行的对应元素相同，它的值应等于零，由定理1将D1按第j行展开，有D1=ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0(i≠j).

定理1和定理2可以合并写成

或

例5　设，求（1）A41+A42+A43+A44；（2）M41+2M42+M43.

解：

练习题（四）

1.填空题.

（1）行列式中元素f的代数余子式是________；

（2）若中代数余子式A12=−1，那么A21=________；

（3）已知四阶行列式D中第三行元素依次为2，5，3，4；它们的余子式分别为3，1，2，4；则D=________.

2.计算下列行列式.

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）.

3.计算4阶行列式.

4.已知行列式，试求：

（1）D；

（2）A11+A12+A13+A14；

（3）3M13+M23+2M43.

5.设行列式，求：

（1）A41+A42+A43+A44；

（2）6A21+9A22+5A24.

6*.证明等式：.